In questa pagina trovi tutte le lezioni di teoria di un corso universitario di algebra.
Ho deciso di mettere anche la teoria di algebra perché ho notato che online non si trova molto e le cose che si trovano sono inutilmente complicate oppure poco dettagliate.
Quindi grazie alle mie lezioni è possibile trovare tutta la teoria di algebra per passare l’esame di algebra. In futuro metterò anche degli esercizi presi dai temi d’esame di fisica 1 per prepararsi al meglio.
Lezioni
Qui di seguito trovate i link di tutte le lezioni di algebra, suddivise per argomento.
Alla fine di ogni lezione ci sarà un pulsante per andare alla lezione successiva (o precedente) ma se volete scegliere le lezioni singole dovrete tornare in questa pagina utilizzando il menu in alto a sinistra.
- Lezione 1: insiemi numerici; definizione di funzione e di funzione inversa.
- Lezione 2: relazioni di equivalenza; classi di equivalenza; spazio vettoriale e di vettore geometrico.
- Lezione 3: sottospazio; intersezione e unione di due sottospazi.
- Lezione 4: somma di due sottospazi; somma diretta; teorema che lega la somma diretta all’intersezione tra i sottospazi.
- Lezione 5: combinazione lineare; famiglia linearmente dipendente; sottospazio generato da una famiglia di vettori. Inoltre vediamo un paio di teoremi sulle famiglie di vettori.
- Lezione 6: base; base naturale; coordinate rispetto ad una base. Inoltre vediamo un paio di teoremi sulle basi.
- Lezione 7: teorema dello scambio; teorema sul numero di vettori delle basi; dimensione di uno spazio vettoriale; teorema del completamento della base.
- Lezione 8: formula di Grassmann; insieme dei vettori geometrici.
- Lezione 9: funzione o applicazione lineare; nucleo di una funzione lineare; teorema che lega l’iniettività di una funzione lineare al suo nucleo.
- Introduzione alle matrici: contiene una serie di concetti utili per capire le prossime lezioni sulle matrici e che verranno in parte ripresi dalle prossime lezioni.
- Lezione 10: teorema sulla corrispondenza biunivoca tra matrici e funzione lineare; colonna di coordinate di un vettore; matrice associata ad una funzione rispetto a due basi.
- Lezione 11: matrice del cambiamento di coordinate e sue proprietà; teorema sull’immagine di una funzione lineare; teorema delle dimensioni.
- Lezione 12: teorema sulla conservazione della dipendenza nelle funzioni lineari; teorema sulla conservazione dell’indipendenza nelle funzioni lineari; varietà lineare; una proposizione che lega l’appartenenza di un vettore al sottospazio generato da altri vettori con le dimensioni dei sottospazi.
- Lezione 13: rango di una matrice e sue proprietà; sistemi lineari; teorema di Rouché-Capelli; teorema di struttura.
- Lezione 14: procedimento di eliminazione gaussiana; pivot; matrice a scala; proposizione sul rango di una matrice a scala; in aggiunta vediamo anche le applicazioni dell’eliminazione gaussiana.
- Lezione 15: matrice in forma canonica speciale; applicazioni della forma canonica speciale.
- Lezione 16: gruppo; permutazione; scambio; teorema sulla composizione degli scambi; definizione di determinante; regola di Sarrus.
- Lezione 17: proprietà del determinante; formula di Laplace; formula per il calcolo della matrice inversa; sistema di Cramer; teorema sul rango di una matrice.
- Lezione 18: endomorfismo diagonalizzabile; autovalore e autovettore; teorema sulla diagonalizzabilità di un endomorfismo; proposizione sulla diagonalizzabilità e gli autovettori; proposizione sul calcolo degli autovalori; polinomio caratteristico.
- Lezione 19: autospazio; molteplicità geometrica; relazione tra molteplicità algebrica e geometrica; teorema di diagonalizzabilità.
- Lezione 20: similitudine; matrice diagonalizzabile; proposizione sulla relazione tra autovettori di una matrice e la similitudine; teorema di diagonalizzabilità per le matrici.
- Lezione 21: prodotto scalare; base ortonormale; base ortogonale; procedimento di Gram-Schmidt; disuguaglianza triangolare; disuguaglianza di Cauchy-Schwarz.
- Lezione 22: complemento ortogonale; teorema sul complemento ortogonale; somma diretta; proiezione ortogonale; coseno direttore; condizioni di parallellismo e ortogonalità per rette e piani.
- Lezione 23: teorema spettrale; definizione di matrice ortogonale; coordinate cartesiane; equazione cartesiana e parametrica di una retta e di un fascio di piani.
- Lezione 24: forma algebrica di un numero complesso; modulo e argomento di un numero complesso; forma trigonometrica di un numero complesso; disuguaglianza triangolare; numeri complessi coniugati.
- Lezione 25: formule di Eulero; forma esponenziale di un numero complesso; formula più bella della matematica.
- Lezione 26: polinomi a coefficienti reali; radici di un polinomio; teorema fondamentale dell’algebra; teorema di Ruffini; teorema sulla scomposizione di un polinomio.
Quindi con queste lezioni sarete carichi a molla per superare l’esame!