Esame 1 - Mathtube

Questo è il primo esame che svolgiamo interamente. In ogni esame ci sono tre esercizi, di solito distribuiti così: il primo esercizio sul moto di un punto materiale, il secondo sul corpo rigido, il terzo sulla termodinamica.

Esercizio 1

Un trenino, formato da una locomotiva di massa $m_1 = 0.5kg$ che traina un vagone di massa $m_2=0.3kg$ è posizionato su una rotaia circolare di diametro $1.4m$ , disposta su un piano orizzontale. Partendo da fermo, viene accelerato con accelerazione tangenziale $a=bt$ , con $b=0.3m/s^3$ . Calcolare al tempo $t=4s$ :

la velocità del trenino.
lo spazio percorso.
la forza che la locomotiva esercita sul vagone.
la potenza che il motore del trenino sta erogando.

SOL:

a. Notiamo intanto che la locomotiva e il trenino si muovono su una rotaia circolare, quindi si muoveranno di moto circolare. Ci forniscono già la legge che esprime l’accelerazione tangenziale in funzione del tempo: $a=0.3t$ . L’accelerazione dipende dal tempo quindi non è un moto uniforme e nemmeno uniformemente accelerato: è un moto circolare generico.
Nella teoria abbiamo visto la formula generale per calcolare la velocità:

$v(t)=v_0+\int_0^t a(t)dt$

Questa è la velocità tangenziale. A noi serve quella all’istante $t=4s$ . Inoltre ci dicono che il trenino parte da fermo, quindi $v_0=0$ .
Otteniamo:

$v(t)=v_0+\int_0^t a(t)dt=0+\int_0^t0.3t\cdot dt=\left [ \frac{0.3t^2}{2} \right ]_0^t=\frac{0.3t^2}{2}$

$v(4)=\frac{0.3\cdot4^2}{2}=2.4m/s$

Abbiamo già risolto il primo punto. Come vedete, si tratta di prendere la formula e fare i conti.

b. Ci chiedono lo spazio percorso al tempo $t=4s$ .
Anche per questo abbiamo una formuletta:

$s(t)=s_0+\int_0^t v(t)dt$

Chiaramente vogliamo lo spazio percorso dal punto in cui partiamo, quindi $s_0=0$ perché come punto iniziale prendiamo il punto da cui parte il trenino.
Integrando otteniamo:

$s(t)=s_0+\int_0^t v(t)dt=0+\int_0^t0.3\frac{t^2}{2}dt=0.1\cdot \frac{t^3}{2}$

$s(4)=0.1\cdot\frac{4^3}{2}=3.2m$

In questi due punti non abbiamo usato formule del moto circolare (velocità angolare ecc) perché non ce n’è stato il bisogno. Ci chiedevano la velocità tangenziale e lo spazio percorso, che si può calcolare benissimo con le formule generiche. Avremmo usato le formule del moto circolare se ci avessero dato delle informazioni sugli angoli perché così avremmo avuto formule che legavano l’angolo e il tempo. Qui, invece, ci parlano di velocità e di metri, non di velocità angolare e angoli.

c. Calcoliamo la forza che la locomotiva esercita sul vagone all’istante $t=4s$ .
Noi sappiamo quanto vale l’accelerazione del trenino in $t=4s$ .
Per la seconda legge di Newton sappiamo che la forza applicata al vagone (che è quella della locomotiva) causa l’accelerazione del vagone (che è quella di tutto il trenino). Quindi:

$F_{loc,vag}(t)=m_2a(t)$

Con questa formula intendiamo dire che la forza della locomotiva sul vagone corrisponde alla massa del vagone moltiplicata per la sua accelerazione.
Quindi, all’istante $t=4s$ :

$F_{loc,vag}(4)=m_2a(4)=0.3\cdot0.3\cdot4=0.36N$

Nella formula precedente, sappiamo che $m_2=0.3kg$ e $a=0.3t$ .

d. Calcoliamo la potenza che il motore sta erogando all’istante $t=4s$ .
Sappiamo come è definita la potenza:

$P_{mot}(t)=\frac{dW}{d t}=\frac{F_{mot}\cdot d s}{dt}=F_{mot}\cdot \frac{ds}{dt}=F_{mot}\cdot v(t)$

Con questi semplici passaggi (definizione di potenza e definizione di lavoro) abbiamo ottenuto una formula molto importante:

$P_{mot}(4)=F_{mot}\cdot v(4)$

La velocità è già stata calcolata, quindi ci concentreremo sulla forza del motore $F_{mot}$ . Il motore cosa deve spostare? Il motore sposta la locomotiva e il vagone causando un’accelerazione che abbiamo già calcolato: $a(4)=0.3\cdot 4=1.2m/s^2$ . Possiamo quindi scrivere:

$F_{mot}=(m_1+m_2)\cdot a(4)=(0.5+0.3)\cdot 1.2=0.96N$

Abbiamo fatto la somma delle masse perché, come ho detto poco fa, il motore deve spostare sia la locomotiva sia il vagone.
Adesso possiamo trovare la potenza:

$P_{mot}(4)=F_{mot}\cdot v(4)=0.96\cdot2.4=2.304W$

ATTENZIONE: quando vi danno delle formule che dipendono dal tempo (in questo caso l’accelerazione dipendeva dal tempo) siete costretti a ragionare usando gli integrali e le derivate. Questi esercizi non capitano spesso ma ho voluto farne uno per dirvi questa cosa. Se nella formula della potenza scriviamo $\frac{\Delta W}{\Delta t}$ otteniamo una potenza media che a noi non interessa perché vogliamo la potenza in un certo istante, non la potenza in un intervallo di tempo. Nel punto a, invece, non so come avremmo fatto senza integrali: non potevamo considerare costante né la velocità né l’accelerazione.
Non spaventatevi: piano piano prenderete confidenza con questi concetti.

Esercizio 2

Una ruota è schematizzabile con un anello esterno sottile di raggio $R=25cm$ e massa $m_1=4kg$ e 6 raggi (sbarrette), ciascuno di massa $m_2=0.2 kg$ che congiungono il mozzo all’anello esterno (il contributo del mozzo è trascurabile). La ruota è posta su un piano orizzontale ed è soggetta ad una forza $F=20N$ , orizzontale, applicata al centro O. Calcolare:

il momento d’inerzia della ruota rispetto all’asse centrale passante per O (vedi figura per capire dov’è O).
il minimo valore del coefficiente di attrito statico affinché il moto sia di puro rotolamento.

La forza F agisce per un tratto di lunghezza L sulla ruota inizialmente ferma, fino a far raggiungere alla ruota la velocità $v=2,5m/s$ .
Calcolare la distanza $L$ .

Supponendo che il coefficiente di attrito dinamico tra la ruota e il piano sia di $\mu_d=0.22$ ,
Quanto più in basso del centro bisogna applicare la forza affinché la ruota scivoli senza ruotare?

Allora intanto ci vengono date due figure:

SOL:

a. Intanto ci chiedono il momento d’inerzia della ruota rispetto al punto O. Guardate la figura di sinistra, quella di destra serve per il punto d.
Il momento d’inerzia è semplicemente la somma dei momenti d’inerzia dei corpi che compongono la ruota.
Per un’asta di massa $m_2$ e di lunghezza $R$ che ruota attorno ad un estremo, il momento d’inerzia è tabulato ed è:

$I_{asta}=\frac{1}{3}m_2R^2$

Per un anello di massa $m_1$ e raggio $R$ che ruota attorno al centro, il momento d’inerzia è tabulato ed è:

$I_{anello}=m_1R^2$

Quindi, siccome ci sono 6 aste, il momento d’inerzia della ruota è:

$I_{ruota}=I_{anello}+6I_{asta}=m_1R^2+6\cdot\frac{1}{3}m_2R^2=0.275kg\cdot m^2$

ATTENZIONE: ricordatevi le unità di misura. Inoltre usate le unità di misura del sistema internazionale: ci danno il raggio in centimetri quindi prima di fare i conti bisogna metterlo in metri.

b. Ci chiedono il minimo valore del coefficiente di attrito statico affinché il moto sia di puro rotolamento.
L’unica formula che abbiamo per il coefficiente di attrito statico è la formula: $F_{as}\leq\mu_sN$ , quindi dobbiamo trovare la forza di attrito statico e la reazione vincolare.
Per il corpo rigido bisogna sempre scrivere le equazioni cardinali. Guardiamo l’immagine:

Sappiamo che le equazioni cardinali sono le seguenti:

$\left\{\begin{matrix} \sum_i F^{est}_i=M_{tot}a_{cm}\\ \\ \sum_i M^{est}=I\alpha \end{matrix}\right.$

I momenti delle forze esterne vanno calcolati rispetto al centro di massa (cioè il punto O) perché abbiamo già calcolato il momento d’inerzia rispetto a quel punto. Si potrebbe calcolarli anche rispetto ad un altro punto ma allora dovremmo ricalcolare anche il momento d’inerzia.
Le forze esterne sono due: quella rossa e quella verde in figura.
I momenti delle forze esterne rispetto al CM sono uno solo: quello della forza di attrito. Il braccio è la distanza tra CM e punto di applicazione della forza (il punto verde in figura) quindi è $R$ .
Abbiamo poi un’altra equazione, che è quella del puro rotolamento:

$a_{cm}=\alpha R$

Mettiamo tutto a sistema e otteniamo:

$\left\{\begin{matrix} F-F_{as}=M_{tot}a_{cm}\\ \\ RF_{as}=I_{ruota}\alpha \\ \\ a_{cm}=\alpha R \end{matrix}\right.$

Con queste è possibile calcolare $a_{cm}$ , $\alpha$ e $F_{as}$ , cioè l’accelerazione del centro di massa, l’accelerazione angolare della ruota e la forza di attrito statico.
A noi interessa la forza di attrito statico.
Con un po’ di conti dovreste ottenere:

$F_{as}=\frac{F}{1+\frac{M_{tot}R^2}{I_{ruota}}}$

Quindi troviamo:

$F_{as}=9.17 N$

Noi dobbiamo trovare il coefficiente di attrito statico. La reazione vincolare, siccome il piano è orizzontale, è uguale alla forza peso della ruota (volendo si potrebbe scrivere l’equilibrio delle forze verticali ottenendo $N-F_p=0$ ):

$N=F_p=M_{tot}g=(4+6\cdot 0.2)\cdot 9.8=50.96N$

Quindi basta sostituire nella seguente formula:

$F_{as}\leq\mu_sN$

Otteniamo:

$\mu_s\geq\frac{F_{as}}{N}$

Il minimo valore è quindi:

$\mu_s=\frac{F_{as}}{N}=\frac{9.17}{50.96}=0.18$

c. Dobbiamo calcolare la distanza L.
Sappiamo che la ruota è in moto di puro rotolamento. Come calcoliamo la distanza? Ci danno la velocità finale della ruota quindi è probabile che dobbiamo utilizzare l’energia cinetica.
Scriviamo allora il teorema dell’energia cinetica sapendo che, siccome la ruota parte da ferma, l’energia cinetica iniziale è nulla:

$\begin{matrix} W=\Delta E_{cin}=E_{cin,fin}\\ \\ F\cdot L=\frac{1}{2}M_{tot}v_{cm}^2+\frac{1}{2}I\omega^2 \end{matrix}$

Questo perché l’energia cinetica finale sarà data dalla somma dell’energia cinetica di traslazione del centro di massa e dell’energia cinetica di rotazione del corpo rigido. Questa cosa l’abbiamo detta anche nella teoria.
Per il puro rotolamento sappiamo un’altra cosa:

$\begin{matrix} v_{cm}=\omega R \end{matrix}$

Da qui possiamo ricavare la velocità angolare:

$\omega=\frac{v_{cm}}{R}$

L’ultima cosa che rimane da fare è sostituire nell’equazione del teorema dell’energia cinetica e ricavarsi L:

$F\cdot L=\frac{1}{2}M_{tot}v_{cm}^2+\frac{1}{2}I\left ( \frac{v_{cm}}{R} \right )^2$

Chiaramente la velocità del centro di massa sarà quella che ci forniscono nei dati: $v_{cm}=2.5m/s$ .
Otteniamo:

$L=\frac{1}{F}\left (\frac{1}{2}M_{tot}v_{cm}^2+\frac{1}{2}I\left ( \frac{v_{cm}}{R} \right )^2 \right )=\frac{1}{20}\cdot (16.25+13.75)=1.5m$

Alternativa: si poteva anche ragionare con il moto uniformemente accelerato: dal punto b si otteneva l’accelerazione del CM e, siccome è inizialmente fermo, si poteva scrivere le due equazioni (spazio e velocità) del moto rettilineo uniformemente accelerato e risolverle trovando lo spazio percorso. Noi però siamo forti e volevamo risolverlo con le formule per il corpo rigido.

d. Dobbiamo calcolare la distanza h che vedete nell’immagine iniziale per fare in modo che la ruota scivoli. Conosciamo il coefficiente di attrito dinamico.
Se il corpo non ruota significa che ha accelerazione angolare nulla: $\alpha=0$ .
Scrivendo la seconda equazione cardinale troviamo:

$\sum_i M^{est}_i=I\alpha=0$

Facciamo i momenti delle forze rispetto al CM. Questa volta abbiamo la forza di attrito dinamico e la forza $F$ perché la forza $F$ non è più applicata nel CM (prima, essendo applicata nel CM, il braccio era nullo e quindi non faceva momento).
Guardiamo la figura:

Abbiamo due momenti. Il segno di questi momenti si stabilisce con la regola della mano destra: il pollice è il braccio (congiunge il CM al punto di applicazione della forza), l’indice è la forza, il medio rappresenta il momento. Come in figura:

I due momenti hanno verso opposto perché il medio indica in due direzioni opposte. Quindi i segni dei momenti sono opposti:

$hF-RF_{ad}=0$

Ricordiamo che il momento della forza è il prodotto tra braccio e forza. La forza $F$ ha un braccio h (vedere immagine iniziale), mentre la forza di attrito ha braccio pari al raggio. Tutto questo si fa rispetto al CM perché abbiamo deciso di calcolare il momento delle forze rispetto al CM.
Otteniamo:

$h=\frac{RF_{ad}}{F}=\frac{R\mu_dN}{F}=\frac{R\mu_dM_{tot}g}{F}=\frac{2.8028}{20}=0.14m$

Esercizio 3

Una macchina reversibile lavora tra un sorgente calda di temperatura $T_2$ e una fredda $T_1$ costituita da una miscela di acqua e ghiaccio alla temperatura di fusione, contenente $1.45 kg$ di ghiaccio. La macchina produce in ogni ciclo un lavoro pari a $20kJ$ , e si misura che in un ciclo la variazione di entropia della sorgente fredda è pari a $52 J/K$ . Calcolare:

calore scambiato con la sorgente calda.
temperatura della sorgente calda.
numero di cicli necessari per sciogliere tutto il ghiaccio.
variazione di entropia dell’universo dopo che tutto il ghiaccio si è sciolto.

SOL:

a. Dobbiamo calcolare il calore scambiato con la sorgente calda.
Siccome la sorgente fredda è costituita da una miscela di acqua e ghiaccio, sappiamo che $T_1=0^{\circ}C=273.15K$ . L’unità di misura della temperatura nel sistema internazionale è il Kelvin ( $K$ ).
In pratica, nella figura seguente, dobbiamo calcolare $Q_2$ .

Sappiamo che il calore scambiato con la sorgente a temperatura FREDDA è:

$Q_1=-Q_{sorg}=-\Delta S_{sorg}T_1=-52\cdot273.15=-14203.8J$

Nel secondo passaggio abbiamo utilizzato la formula inversa della definizione di variazione di entropia: $\Delta S=\frac{\Delta Q}{T}$ .
A questo punto possiamo utilizzare il primo principio della termodinamica. In un ciclo vale:

$W=Q=Q_1+Q_2$

Abbiamo appena calcolato $Q_1$ e il lavoro ci viene dato.

$Q_2=W-Q_1=20000-(-14203.8)=34203.8J\simeq 34kJ$

b. Calcoliamo la temperatura della sorgente calda ( $T_2$ ).
La macchina è reversibile quindi abbiamo il teorema di Clausius per le macchine reversibili:

$\frac{Q_1}{T_1}+\frac{Q_2}{T_2}=0$

Ci manca solo $T_2$ , quindi la troviamo:

$T_2=-\frac{T_1}{Q_1}\cdot Q_2=-\frac{273.15}{-14203.8}\cdot34203.8=657.76K$

c. Dobbiamo trovare il numero di cicli necessari per sciogliere il ghiaccio.
Utilizzando la formula del calore di fusione (quella con il calore latente) possiamo trovare quanto ghiaccio si scioglie ad ogni ciclo:

$\left | Q_1 \right |=\lambda m$

Il calore latente ( $\lambda$ ) è tabulato: per l’acqua vale $\lambda=333500J/kg$ .
Troviamo dunque la massa:

$m=\frac{\left | Q_1 \right |}{\lambda}=\frac{14203.8}{333500}=0.0426kg$

Sappiamo che ci sono $1.45 kg$ di ghiaccio e sappiamo che ad ogni ciclo ne sciogliamo $0.0426kg$ .
Il numero di cicli necessari per sciogliere tutto il ghiaccio si trova facendo la divisione:

$n_{cicli}=\frac{m_{tot}}{m}=\frac{1.45}{0.0426}=34$

d. Troviamo la variazione di entropia dell’universo dopo che tutto il ghiaccio si è sciolto.
Non serve neanche fare conti: la macchina è reversibile quindi, siccome ci sono solo trasformazioni reversibili, l’entropia dell’universo si conserva. Se invece sono presenti trasformazioni irreversibili l’entropia aumenta.
L’entropia dell’universo si conserva quindi:

$\Delta S_{univ}=0$

Cosa abbiamo imparato

Negli esercizi di fisica è difficile generalizzare quindi la sezione “Cosa abbiamo imparato” non ci sarà, tranne in casi speciali.
In generale ricordatevi questo:

ESERCIZIO SUI MOTI: bisogna capire il moto (di solito ce lo dicono) e scriversi le formule del moto. Con quelle dovreste saper fare l’esercizio, ma se proprio non ce la fate usate la conservazione dell’energia che funziona sempre.

ESERCIZIO SU CORPO RIGIDO: dovete per forza scrivere le equazioni cardinali che sono fondamentali: con quelle gli esercizi si risolvono. Se non ce la fate ci sono il teorema dell’energia cinetica e dell’energia meccanica. Ovviamente bisogna sapere delle cose, per esempio il momento d’inerzia e, in questo caso, la formula della forza di attrito.
Nel nostro caso ci dicevano che volevano il moto di puro rotolamento, quindi abbiamo aggiunto anche le equazioni del puro rotolamento.

ESERCIZIO SU TERMODINAMICA: il primo principio della termodinamica va usato sempre in qualche modo. Se ci dicono i nomi delle trasformazioni (non è il nostro caso ma nei prossimi esercizi capiterà) possiamo utilizzare le formule specifiche di quelle trasformazioni. Il teorema di Clausius e il teorema di Carnot sono molto importanti.
Nel nostro caso abbiamo utilizzato anche la formula per il calore di fusione (quella con il calore latente).
Chiaramente bisogna sapere anche improvvisare: il numero di cicli necessari è stato calcolato pensando a quanto ghiaccio si scioglie in ogni ciclo e poi facendo la divisione tra massa totale e massa sciolta in un ciclo.

Il consiglio è questo: scrivetevi le formule fondamentali in base a quello che vi dicono nell’esercizio e poi cercate di trovarvi tutto quello che vi manca per arrivare al risultato (per esempio se vedo che in una formula mi manca un dato per trovare quello che voglio, cerco di trovare quel dato con altre formule come definizioni o altro).

Vedremo negli esercizi cosa utilizzare.

Fai click qui per passare al secondo esame.

Esercizio 1

Esercizio 2

Esercizio 3

Cosa abbiamo imparato

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