Lezione 13

In questa lezione vediamo la corrente di spostamento e l’equazione di continuità.

Corrente di spostamento

Questa è l’ultima lezione della parte dei condensatori: dalla prossima tratteremo il campo magnetico.

Abbiamo parlato più volte della corrente elettrica e sappiamo che è dovuta al moto delle cariche nei conduttori. Tale corrente viene detta corrente di conduzione.

Esiste una corrente di spostamento che rappresenta la corrente che passa tra le armature del condensatore.

Fino ad adesso abbiamo dato per scontato che la corrente circola, ma come fa a circolare in un condensatore? Quando un condensatore è in un circuito chiuso, in quel circuito circola corrente; tuttavia tra le armature del condensatore non c’è niente, quindi sarebbe un po’ come avere un circuito aperto.

Per dire che la corrente circola anche tra le armature del condensatore introduciamo la corrente di spostamento. Questa corrente non la vediamo in un condensatore ma dice che è come se nell’aria tra le due armature passasse una corrente elettrica, quindi è come se le cariche elettriche “volassero” da un’armatura all’altra.

 Vi sembra fantasia? E invece no perché le cose funzionano alla perfezione quando introduciamo la corrente di spostamento.

Chiariamo già che negli esercizi non vi verrà chiesta, è solo un argomento di teoria da sapere.

Prendiamo un condensatore e supponiamo che nel circuito stia circolando una corrente i_c :

Supponiamo che le armature abbiano area S e siano distanti tra loro d. Vedete? Abbiamo messo la i_s (freccia rossa) tra le due armature: serve per indicare che la corrente passa anche tra le armature, cioè indica la corrente di spostamento.

Supponiamo che sia un condensatore piano.

Scriviamo un po’ di leggi:

La prima è la formula della capacità di un condensatore piano. La seconda è quella che lega campo elettrico e tensione nel condensatore piano. La terza esprime l’uguaglianza tra i_s e i_c perché la corrente che passa tra le armature deve essere uguale a quella che circola nel circuito. La corrente è la derivata della carica e sappiamo quanto vale la carica in un condensatore grazie alla definizione di capacità (C=Q/V).

Ora proseguiamo sostituendo nell’espressione di i_s le prime due formule che abbiamo scritto.

A questo punto dovremmo fare la derivata del prodotto ES.

Ma quel prodotto è proprio il flusso del campo elettrico attraverso la superficie S: se prendiamo un vettore perpendicolare alla superficie, tale vettore sarà parallelo al campo elettrico, quindi il coseno dell’angolo compreso tra i due sarà 1. Questo significa che posso mettere il prodotto scalare tra il vettore E e il vettore S. Poi basta trasformarlo in un integrale. Vediamolo in formule che è meglio:

Come vedete, una volta ottenuto il prodotto scalare basta trasformarlo in un integrale fatto sulla superficie S. Questo si può fare perché il campo elettrico è costante su tutta la superficie quindi si può portare fuori dall’integrale; poi l’integrale del dS dà come risultato il vettore S. Insomma avete capito: è uguale, non è cambiato niente. So che con i vettori è più brutto: bastava dirvi che il flusso è ES ed era meglio. Ci tocca parlare di vettori perché ai fisici piacciono.

L’integrale che abbiamo scritto è il flusso del campo elettrico Φ_E e così troviamo la formula della corrente di spostamento:

Se poi vogliamo calcolare la densità di corrente di spostamento, ci basta dividere la corrente per S: 

Nella seconda riga l’abbiamo scritta in forma vettoriale.

Avrete di sicuro notato che la corrente di spostamento ha una derivata. Questo vuol dire che in condizioni stazionarie, cioè quando le grandezze non variano nel tempo, la derivata del flusso sarà nulla e quindi non ci sarà corrente di spostamento. In condizioni non stazionarie, però, bisogna considerare anche la corrente di spostamento.

La corrente totale, IN GENERALE, è data da:

Nei nostri esercizi non la consideriamo mai, però è importante sapere che esisterebbe. La corrente di spostamento è presente, per es., nelle leggi di Maxwell quindi portate rispetto per lei.

Equazione di continuità

Diciamo subito che queste cose non si usano negli esercizi.

Adesso dovrete concentrarvi molto.

Troveremo l’equazione di continuità nel caso stazionario (cioè senza la corrente di spostamento i_s) e poi nel caso generale.

caso stazionario

Consideriamo un’area cilindrica (tipo un filo) in cui sta scorrendo della corrente. In condizioni stazionarie tutta la corrente che entra da una parte del cilindro deve anche uscire.

Adesso vediamo la figura e poi le formule.

Spieghiamo le immagini. La prima è il cilindro con le correnti in ingresso e in uscita. La seconda rappresenta il cilindro in 2D. Abbiamo poi riportato i vettori che ci serviranno per i calcoli successivi. Il vettore viola è opposto al vettore rosso. Vi chiederete a cosa serve. Se guardiamo il cilindro, la freccia viola è diretta verso l’esterno del cilindro; la stessa cosa vale per la freccia rossa a destra (dS₂). Noi otterremo un integrale su una superficie chiusa, cioè sulla superficie del cilindro: tale integrale ha bisogno di vettori “dS” che siano diretti verso l’esterno della superficie. Ecco perché il vettore chiamato dS₁ non va bene.

Adesso vediamo i conti.

Sappiamo che la corrente che entra è la stessa di quella che esce. Sappiamo anche che la corrente è l’integrale della densità di corrente j.

Attenzione all’ultimo passaggio: la freccia viola è opposta alla freccia rossa. Dentro l’integrale abbiamo scritto il vettore dS’₁ e abbiamo cambiato il segno perché dS₁ = -dS’₁.

Adesso sommiamo l’integrale di j fatto sulla superficie laterale del cilindro perché il vettore j non passa per la superficie laterale del cilindro (perché è parallelo a tale superficie): in altre parole, l’integrale è nullo quindi se lo sommo non succede niente.

Abbiamo finalmente ottenuto una somma di integrali fatti sulle superfici del cilindro: dalla somma si ottiene quindi l’integrale fatto su una superficie chiusa, cioè quella cilindrica.

Potremmo già finirla qua ma noi siamo dei campioni e vogliamo scriverlo in modo elegante.
Utilizziamo il teorema della divergenza:

Abbiamo finito: otteniamo l’equazione di continuità nel caso stazionario che dice che la divergenza di j è nulla.

Tutto questo era nel caso stazionario.

caso generale

Abbiamo detto prima che in generale la corrente è la somma di i_c e di i_s.
Per la densità di corrente vale la stessa cosa: è la somma di j_c e di j_s.

Il secondo addendo è proprio la densità di corrente di spostamento.

Adesso prendiamo l’equazione di continuità che abbiamo scritto prima e sostituiamo alla j l’espressione appena trovata.

Sono solo conti. L’ultimo passaggio è un po’ strano: l’operatore che serve per fare la divergenza (quel triangolo girato) è stato portato dentro alla derivata.

Adesso usiamo la legge di Gauss in forma differenziale, che è questa:

Basta buttare dentro alla formula di prima e semplificare gli “ε₀“.

Otteniamo l’equazione di continuità nel caso generale:

Nel caso generale che cosa succede alla corrente? Nel caso stazionario sappiamo che tutta la corrente che entra nel cilindro riesce ad uscire.

Per capire cosa succede alla corrente facciamo un integrale di volume nella formula precedente.

Per ottenere la seconda riga abbiamo utilizzato di nuovo il teorema della divergenza. Abbiamo inoltre portato fuori dal secondo integrale la derivata.

A questo punto l’integrale di superficie che abbiamo scritto, se guardate il caso stazionario, è pari a i_out – i_in : noi prima abbiamo scritto esattamente questo. Infatti siamo partiti da un’equazione i_out = i_in , poi abbiamo “girato” i termini ottenendo i_out – i_in = 0 e facendo un po’ di conti abbiamo visto che quella sottrazione era un integrale di superficie della j.
All’integrale di superficie che abbiamo trovato possiamo quindi sostituire i_out – i_in . 
L’integrale di volume della densità volumetrica dà la carica Q che è presente nel volume.

Otteniamo:

In pratica, nel caso generale non tutta la corrente che entra riesce ad uscire. Un po’ di corrente che è entrata non esce e va ad aumentare la carica presente all’interno del conduttore.

Abbiamo finito. Ripeto che queste formule non sono importanti per gli esercizi.

Dalla prossima lezione inizieremo il magnetismo.

 

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