Lezione 15

In questa lezione vediamo la spira e il moto di una particella in un campo magnetico costante.

La spira

A Verona “avere spira” significa avere prurito. In questa lezione non parleremo di prurito.

La spira è un conduttore (per es. un filo) che fa quasi un percorso chiuso (come un anello), in cui circola una corrente.

Vediamo una figura in 3D, che spieghiamo dopo. Sembrerà difficile ma piano piano ce la faremo.

Prendiamo una spira rettangolare, cioè un rettangolo, in cui scorre una corrente i in senso antiorario.

La spira è un rettangolo. Noterete che il lato in basso è aperto. Questo è quello che succede nella realtà: si butta corrente dentro ad un “anello” rettangolare grazie a due fili, quindi il rettangolo è aperto. Nella teoria consideriamo il rettangolo chiuso perché supponiamo che l’apertura che c’è sia molto piccola.

In questo rettangolo circola una corrente i ed è immersa in un campo magnetico. L’angolo θ è l’angolo tra il campo magnetico e il versore perpendicolare alla superficie. Il lato lungo si chiama a, il lato corto si chiama b.

Applicando le formule della Lezione 14, in particolare F=ilBsinφ (φ è l’angolo tra B e l), otteniamo le forze che abbiamo messo in figura. Ricordatevi che per capire come sono messe dobbiamo utilizzare la regola della mano destra: il vettore l è diretto come la corrente elettrica, mentre B è la freccia rossa. Guardiamo il segmento orizzontale in alto: nel pollice mettiamo la corrente che va verso “sinistra”, nell’indice mettiamo il campo magnetico. Otteniamo una forza verso l’alto. Facciamo la stessa cosa negli altri casi.

La cosa magica è che F₂ e F₄ sono uguali e opposte: la lunghezza del tratto di conduttore è la stessa (cioè a), la corrente è la stessa, il campo magnetico è lo stesso. Questo fa sì che il modulo delle forze sia uguale, ma i versi sono opposti: significa che sulla spira non agiscono forze in direzione verticale. Tali forze tenderebbero a deformare la spira, ma supponiamo che la spira non si possa deformare.

Anche le forze F₁ e F₃ sono uguali e opposte, ma qui succede una cosa diversa: la spira non è allineata con il campo elettrico (perché c’è un angolo θ) quindi anche se la somma delle forze è nulla, tali forze rappresentano una coppia di forze che tende a far girare la spira.
Questo avviene perché la loro somma è nulla, ma le forze giacciono su due rette differenti (F₂ e F₄ invece giacevano sulla stessa retta, cioè quella verticale): sono sempre rette orizzontali, ma sono “spostate” rispetto alla spira.

Guardiamo la spira dall’alto:

Il punto O è il centro del lato di lunghezza a. Come vedete, le due forze giacciono su due rette diverse quindi generano un momento che tende a far ruotare la spira. Il braccio di ogni forza è stato indicato in verde. Geometricamente si nota che l’angolo tra B e u_N è uguale a quelli che abbiamo riportato in figura: ci sono tre angoli pari a θ.

E’ chiaro che quando parliamo di rotazione parliamo di momenti.

Adesso facciamo il calcolo del momento a cui è sottoposta la spira. Prima però guardate la figura 3D e cercate di capire qual è l’angolo tra B e i pezzi verticali di spira. Tale angolo è di 90° perché B, anche se è un po’ girato, è orizzontale, mentre i pezzi sono verticali. Quindi il seno di quell’angolo sarà pari a 1.

Ricordiamo che il momento della forza è dato dal prodotto tra forza e braccio.

Le due forze sono identiche in modulo e sono date dal prodotto ibB. Il seno dell’angolo non c’è perché l’angolo è di 90° quindi il seno è 1. E’ invece presente il sinθ perché quello serve per calcolarsi il braccio, che è il segmento verde riportato in figura.

Possiamo fare la somma e otteniamo l’espressione del momento meccanico della spira:

Noi siamo forti e sappiamo che il momento meccanico è un vettore: abbiamo appena scritto il modulo, ma per capire come è orientato basta usare la regola della mano destra. Il pollice è il braccio (un vettore che parte dal punto O ed è diretto come le linee verdi della figura precedente), l’indice è la forza. Otteniamo per entrambe le forze un vettore diretto (nella figura 3D) verso il basso.
Se volete scrivere la relazione vettoriale basta mettere delle freccette sopra al momento, sopra a B e sopra al prodotto ab; inoltre si elimina il seno dell’angolo e si mette un bel prodotto vettoriale tra il vettore B e il vettore ab. Tra poco porremo S=ab.

Per capire in che verso ruota la spira, una volta ottenuto il vettore momento, si usa l’altra regola della mano destra:

Utilizziamo questa regola e vediamo che la spira nella figura 2D tende a ruotare in verso orario.

Fino a qua abbiamo ripassato un po’ le cose di fisica 1.

Adesso introduciamo il momento di dipolo magnetico M_B:

E’ una definizione, c’è poco da capire. L’unica cosa che bisogna capire è come è messo il vettore: è un vettore orientato come u_N che è perpendicolare alla superficie. Il vettore M_B sarà quindi perpendicolare alla superficie.

ATTENZIONE: vedete l’immagine dell’ultima regola della mano destra che abbiamo usato? Per stabilire il verso di u_N, e quindi di M_B, si guarda la corrente che circola nella spira e si chiude il pugno nel verso della corrente. Il pollice indica il verso di u_N. 

Detto questo, in pratica il momento di dipolo magnetico è un prodotto tra corrente e area della spira.

Possiamo riscrivere il momento meccanico della spira:

In forma vettoriale:

 

La morale della favola è questa: una spira immersa in un campo magnetico è sottoposta ad una coppia di forze che generano un momento meccanico che tende a far ruotare la spira. Il momento meccanico si calcola con le formule che abbiamo visto e ha un verso dato dalla regola della mano destra. E’ possibile poi definire il momento di dipolo magnetico, con cui si può riscrivere la formula del momento meccanico. 

analogia

Nella lontana Lezione 3 avevamo analizzato il dipolo elettrico e definito il momento di dipolo elettrico (indicato con p).

Facciamo una tabella con le formule che avevamo trovato e con le formule che abbiamo trovato adesso.

La formula dell’energia potenziale non l’abbiamo dimostrata nel caso della spira, tuttavia l’analogia per le prime due formule è così evidente che possiamo già dire che l’energia potenziale del dipolo magnetico è quella scritta.

esercizio

Vediamo un esercizietto.

C’è una spira quadrata di lato a=10 cm che è immersa in un campo magnetico B verticale. La massa della spira è m=3g e nella spira circola una corrente i=6A. La spira IN EQUILIBRIO è inclinata rispetto al piano xy di un angolo θ=30°.
La figura è questa:

Siccome non siamo soddisfatti della figura, abbiamo un’altra visuale:

La spira è inclinata. Su di essa agisce la forza peso. Il campo magnetico è diretto verso l’alto.

Con la regola della mano destra (chiudiamo la mano nel verso della corrente) il pollice indica che il momento di dipolo magnetico M_B ha la direzione che abbiamo messo in figura.

E’ richiesto il modulo del campo magnetico.

Dalla definizione di momento di dipolo magnetico troviamo quanto vale:

La formula deriva dal fatto che l’area della spira è l’area di un quadrato di lato a.

Adesso calcoleremo il momento della forza peso rispetto al centro degli assi cartesiani e il momento meccanico della spira dovuto al campo magnetico. Tali momenti, siccome la spira è in equilibrio, dovranno essere uguali.

Cominciamo con il momento della forza peso rispetto al centro degli assi, dato dal prodotto tra forza peso e braccio:

Adesso troviamo il momento meccanico delle forze magnetiche che agiscono sulla spira:

La formula è proprio quella perché dobbiamo mettere l’angolo tra M_B e B. In figura l’abbiamo indicato.

Uguagliamo i due momenti perché ci dicono che la spira è in equilibrio.

E fine dell’esercizio. Questo serviva solo per applicare le ultime formule che abbiamo visto.

Moto particella in campo magnetico costante

Studiamo che cosa avviene quando una particella si muove in un campo magnetico. 

La figura ci darà una mano. La spiegheremo andando avanti.

La carica +q si sta muovendo con velocità v (freccia verde) in una regione in cui c’è un campo magnetico verticale B (freccia rossa). 

Sappiamo che la forza che agisce su una carica è F=qvBsinθ. L’angolo θ è l’angolo tra velocità e campo magnetico, cioè 90°, quindi il seno è 1. Il verso della forza si trova con la regola della mano destra: il pollice indica la velocità, l’indice il campo magnetico e il medio ci fa vedere come è messa la forza.

L’accelerazione poi, dalla legge di Newton (F=ma), avrà lo stesso verso della forza quindi abbiamo disegnato la freccia gialla. 

Scriviamo le formule:

Fino a qua non abbiamo scritto cose nuove.

Nella lezione scorsa abbiamo visto che il lavoro della forza magnetica è nullo (perché forza e velocità sono sempre perpendicolari). Questo significa che la velocità della particella è costante in modulo. La curva che abbiamo tratteggiato è la traiettoria della particella: una forza la sposta ma lei continua a proseguire con velocità costante. Tale velocità, rispetto alla traiettoria, sarà una velocità tangenziale, quindi in realtà il vettore velocità non sarà sempre lo stesso (perché ruoterà). Però il modulo sarà costante.

La freccia verde, quindi, si sposterà in modo da essere tangente alla traiettoria tratteggiata, ma avrà sempre la stessa lunghezza (cioè v sarà costante). Quando si sposta la freccia verde, la regola della mano destra cambierà l’inclinazione della forza, e quindi cambierà l’inclinazione dell’accelerazione. 

Ne risulta un’accelerazione centripeta. Noi che siamo forti sappiamo da Fisica 1 che c’è una formula che lega la velocità tangenziale all’accelerazione centripeta:

Adesso vi risulta chiaro perché in figura è segnato un raggio r: è il raggio della traiettoria della particella.

Sapendo quanto valgono la velocità e l’accelerazione possiamo trovare la formula che ci dice il raggio della traiettoria, detto raggio di Larmor:

E’ poi possibile calcolare la velocità angolare della particella:

Scritta sotto forma di vettore:

Velocità angolare e campo magnetico hanno verso opposto, quindi nella figura la velocità angolare andrà verso il basso. Ciò si capisce utilizzando la regola della mano destra: chiudiamo il pugno nel verso in cui si sta muovendo la particella. Il pollice ci indica la velocità angolare: è verso il basso.

ATTENZIONE: la carica della particella modifica tutto: se la carica è negativa la forza sarà opposta a quella che abbiamo scritto, quindi rifacendo tutto troveremmo che le formule sono le stesse ma la velocità angolare è diretta verso l’alto (come B).

velocità e campo non perpendicolari

Fino ad adesso velocità e campo magnetico erano perpendicolari. Vediamo velocemente cosa succede se non lo sono.

Guardiamo la figura seguente:

C’è un angolo θ tra la velocità e il campo.

Possiamo però scomporre la velocità nella somma di due vettori: quello viola, che è parallelo al campo, e quello giallo, che è perpendicolare al campo.

Ora riscriviamo le formule vettoriali per calcolare la forza.

Abbiamo usato il fatto che il vettore v è formato dalla somma di due vettori.

Quando facciamo il prodotto vettoriale, sappiamo che c’è il seno dell’angolo compreso. Ma la freccia viola e quella rossa sono parallele, quindi l’angolo compreso tra le due è 0° e quindi il seno è nullo.

La forza risultante si trova con la regola della mano destra e fa ruotare la particella con le leggi che abbiamo visto prima, però non bisogna mettere tutta la velocità v, bensì solo il pezzo di velocità perpendicolare al campo magnetico.

Il fatto che nella forza risultante non compaia la forza dovuta alla velocità parallela significa che la particella procede indisturbata verso l’alto.

La morale è che la particella ruoterà e si sposterà verso l’alto contemporaneamente, generando quindi un moto elicoidale.

La lezione finisce qui, è stata dura. Queste formule vengono richieste qualche volta negli esercizi, quindi state attenti. La prossima lezione sarà più breve.

 

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