In questa lezione vediamo la definizione di energia interna e le formule che servono per un gas ideale.
Energia interna
L’energia interna è una variabile che serve per indicare l’energia delle molecole: è formata dall’energia cinetica delle molecole e dall’energia potenziale tra le molecole.
A noi non interessa niente delle molecole perché guardiamo il sistema, ecco perché definiamo l’energia interna: è l’energia del sistema ed è un’espressione dell’energia delle molecole che compongono il sistema.
L’energia interna è legata alla temperatura: più elevata è la temperatura del sistema più esso ha energia interna. Infatti se la temperatura è alta le molecole si muovono più velocemente, quindi hanno più energia.
La temperatura serve per quantificare la possibilità di trasferire energia interna da un sistema ad un altro. Per esempio, se tocchiamo la pentola calda ci scottiamo perché la pentola ha temperatura elevata, quindi riesce a trasferire energia interna a noi e noi ci scaldiamo.
CALORE: il calore è il flusso di energia interna tra due corpi.
Quando i corpi sono in equilibrio non c’è trasferimento di energia interna.
L’energia interna viene indicata con la lettera U e viene misurata in Joule (J).
Ricapitolando: l’energia interna serve per quantificare l’energia delle molecole che compongono il sistema; essa è legata alla temperatura, che quantifica la possibilità di trasferire energia interna. Quando due corpi entrano in contatto si ha un trasferimento di energia interna dal corpo più caldo al corpo più freddo: il flusso di energia interna è chiamato calore, quindi tra i due corpi passa calore.
Questi sono concetti abbastanza familiari.
Gas ideale
Un gas ideale è un gas in cui valgono le seguenti proprietà:
- molecole puntiformi, con volume trascurabile
- le molecole si muovono casualmente in tutte le direzioni
- gli urti tra le molecole sono urti elastici
- non ci sono forze interne tra le molecole, cioè le molecole non interagiscono
L’ultima proprietà dice una cosa importante: l’energia potenziale tra le molecole è trascurabile, quindi Epot = 0.
Quindi l’energia interna di un gas ideale corrisponde all’energia cinetica delle particelle che lo compongono: U = Ecin.
Per il gas ideale vale la seguente legge, che è alla base di ogni considerazione che faremo:
In questa legge P è la pressione, V è il volume, n è il numero di moli (misurato in mol) che indica la quantità di sostanza (negli esercizi di solito viene dato), T è la temperatura e R è la costante dei gas perfetti: R = 8.31 J/(mol K).
Da questa legge, con volume costante, otteniamo:
Questa formula dice che la pressione è proporzionale alla temperatura. Tale relazione si indica così: P ∝ T.
relazione temperatura-energia cinetica
Prima abbiamo detto che all’aumentare della temperatura aumenta l’energia delle molecole che compongono il sistema.
Adesso lo dimostreremo.
Prima ricaviamo la forza che una molecola esercita su una parete e poi spieghiamo perché T ∝ Ecin (cioè temperatura proporzionale a energia cinetica).
Consideriamo una particella che urta una parete come in figura:
L’urto è elastico per ipotesi.
La velocità prima dell’urto v e quella dopo l’urto v’ possono essere scomposte nelle due componenti (orizzontale e verticale) che vedete nella figura.
Supponiamo che la parete sia liscia, cioè non ci sono forze lungo l’asse y. Questo significa che la componente verticale della velocità non cambia:
Siccome è un urto elastico, la molecola (come si vede nell’immagine) rimbalza e torna indietro. Questo significa che la componente orizzontale della velocità è opposta rispetto a quella di partenza:
Ora noi sappiamo che l’impulso J della reazione vincolare (chiamiamo F la reazione vincolare) è dato dalla seguente formula:
Noi sappiamo anche che l’impulso è la variazione della quantità di moto:
Quindi, guardando solo le componenti orizzontali:
Per fare l’ultima uguaglianza abbiamo sfruttato l’equazione v’x = -vx.
Quindi la forza media è:
Il segno “-” della forza dipende dal sistema di riferimento ed indica solo che la forza è diretta verso sinistra.
Adesso consideriamo un recipiente lungo L in cui c’è una particella che si muove orizzontalmente come nella figura:
La particella, dopo aver urtato la parete, torna indietro e va ad urtare l’altra parete.
Vogliamo calcolare il tempo che intercorre tra due urti sulla stessa parete: la particella (dopo aver urtato su una parete) dovrà percorrere tutto il recipiente, rimbalzare sull’altra parete, ripercorrere tutto il recipiente e urtare la parete iniziale.
Quindi la distanza percorsa dalla particella sarà 2L.
Siccome vx = 2L/Δt, il tempo affinché la particella, dopo un urto, arrivi a sbattere di nuovo contro la parete è:
Ora noi sappiamo che la forza esercitata sulla parete è quella calcolata in precedenza (ci mettiamo il segno “+” perché la forza esercitata sulla parete dalla particella è verso destra, quindi positiva. La forza esercitata DALLA parete è verso sinistra):
Questa è una formula illuminante: la forza è proporzionale al quadrato della velocità della particella, quindi è proporzionale all’energia cinetica della particella perché l’energia cinetica è 1/2 mv2:
Dalla definizione di pressione sappiamo che la forza è proporzionale alla pressione:
Dalle ultime due formule, siccome la forza è proporzionale all’energia cinetica e alla pressione, per la proprietà transitiva possiamo dire che:
Abbiamo detto che a volume costante la pressione è proporzionale alla temperatura:
Combinando le ultime due relazioni otteniamo quello che volevamo: la temperatura è proporzionale all’energia cinetica.
energia cinetica media
L’energia cinetica media di una molecola puntiforme a temperatura T ha la seguente formula:
Dove kb = 1.38 · 10-23 J/K è la costante di Boltzmann.
Tale energia dipende dai gradi di libertà: una molecola puntiforme non può ruotare, può solo traslare sui tre assi (cioè ha 3 gradi di libertà) e quindi la formula è quella appena scritta.
Un corpo rigido può traslare e ruotare, quindi ha 6 gradi di libertà e la formula è la seguente:
Come avrete capito, la temperatura si misura in Kelvin (K). La conversione con i gradi centigradi è: 273.15K = 0°C.
Nello zero assoluto, cioè quando T = 0K = -273.15°C, l’energia cinetica è nulla.
Nella prossima lezione vediamo come varia l’energia interna. Fai click qui per passare alla Lezione 22.