Lezione 6

In questa lezione vediamo i condensatori: studieremo il condensatore piano, quello cilindrico e quello sferico.

I condensatori

I condensatori sono dei serbatoi di carica e di energia. Vedremo meglio dopo cosa significa.

Un condensatore è formato da una coppia di conduttori tra cui si instaura il fenomeno dell’induzione completa: abbiamo già visto che cos’è l’induzione, ma cos’è l’induzione completa? 
Un corpo carico positivamente (chiamato A) genera un campo elettrico che esce da esso e va in tutte le direzioni. Quindi se io avvicino un altro corpo (chiamiamolo B), su di esso non agisce tutto il campo elettrico generato dal corpo carico. In pratica le linee di forza del campo elettrico non vanno tutte verso il corpo B. Questa è l’induzione. Se le linee di forza del campo elettrico si chiudono TUTTE sul corpo B allora siamo in presenza di induzione completa.

Quindi per creare un condensatore bastano due conduttori tali per cui le linee di forza di un conduttore si chiudano tutte sull’altro conduttore.
I conduttori hanno due cariche uguali e opposte (a causa dell’induzione): +q e -q.

Adesso definiamo la capacità elettrica, che è la caratteristica principale di un condensatore.

Dato un condensatore in cui i conduttori siano caricati con carica +q e -q e tali per cui tra di essi ci sia una differenza di potenziale pari a V, si definisce CAPACITA’ ELETTRICA la quantità C data da:

L’unità di misura è F (Farad).

Quindi visualizziamo di nuovo la situazione: avviciniamo due conduttori, uno ha carica +q e l’altro ha carica -q; tra di essi c’è un campo elettrico che ha le linee di forza che si chiudono tutte sul conduttore carico negativamente; così abbiamo creato un condensatore. Essendoci campo elettrico c’è anche una differenza di potenziale tra i due conduttori. La capacità esprime il rapporto tra la carica q e la differenza di potenziale.

I due conduttori da qui in poi verranno chiamati armature del condensatore.

Nella pratica esistono condensatori di tre forme: piano, sferico, cilindrico. Adesso li analizziamo separatamente.

condensatore piano

Un condensatore piano è fatto da due armature che sono delle lastre piane. Detto semplicemente: sono due rettangoli vicini e paralleli.

Idealmente il campo elettrico è perpendicolare alle armature. Tale condizione è ideale ma noi la consideriamo valida e la considereremo valida anche negli esercizi.

Guardiamo la figura seguente:

Ecco qui un bel condensatore piano: due rettangoli vicini. Tra di essi è presente un campo elettrico.

Per rappresentarlo meglio lo guardiamo in 2D.

Le armature sono viste da davanti, cioè dovete immaginare che il rettangolo prosegua oltre il computer. Esse sono distanti h.

Da notare che la carica è solo sulle facce che si guardano, non sul resto dell’armatura (per quello che abbiamo detto nell’induzione e nelle proprietà dei conduttori): la situazione è quindi quella di due piani con cariche opposte vicini.

Vedere le armature come due piani è un’ipotesi semplificativa perché in realtà non sono infinite. Però di solito h è molto piccola quindi le armature sono così vicine che, rispetto ad h, sono gigantesche.

Abbiamo già visto il campo elettrico generato da un piano:

Adesso ragioniamo.

In un punto qualsiasi dentro alle armature ci sono due campi elettrici: quello generato dall’armatura positiva (“esce” dal piano positivo, quindi diretto come le frecce rosse nella figura precedente) e quello generato dall’armatura negativa (“entra” nel piano negativo, quindi diretto ancora come le frecce rosse). 
In un punto, quindi, ci saranno due campi elettrici uguali (perché σ è uguale dato che le armature sono identiche e la carica è la stessa) che vanno sommati.

ATTENZIONE: un’armatura ha carica -q quindi σ è negativa e potreste essere tentati di dire che sono campi elettrici opposti. I segni “-” quando si parla di campi elettrici non contano molto: indicano solo come è diretto il campo. Noi dobbiamo guardare il modulo del campo e poi disegniamo la freccia guardando il segno della carica: la freccia è diretta verso chi genera il campo se l’oggetto ha q<0, mentre è diretta verso l’esterno se q>0. Quindi i moduli dei due campi sono identici. Abbiamo visto che le frecce sono entrambe dirette verso destra. Questo significa che i moduli dei campi si sommano. Se avessimo avuto una freccia verso destra e una verso sinistra avremmo sottratto i moduli dei due campi, ottenendo un bello zero.

Siccome i moduli sono uguali, il campo elettrico presente è il doppio di quello generato da un piano:

Tenetevi forte adesso.

Sappiamo che la differenza di potenziale è l’integrale del campo elettrico. In questo caso il campo elettrico è costante, quindi si ottiene una formula molto semplice:

La formula esprime la differenza di potenziale V tra le due armature utilizzando la relazione che la lega al campo elettrico. Poi si suppone che h = r_– – r₊ cioè che l’origine coincida con l’armatura positiva.

Adesso che abbiamo espresso la differenza di potenziale possiamo riscrivere la capacità elettrica di un condensatore piano sostituendo le formule che abbiamo trovato. Ricordiamo che, anche se abbiamo fatto finta che le due armature fossero piani infiniti, esse hanno un’area A. La nostra ipotesi è stata fatta perché h era molto piccola.

Abbiamo solo sostituito la formula di V calcolata poco fa. Poi abbiamo moltiplicato e diviso per l’area A così q/A=σ.

DA NOTARE: la capacità dipende solo dalla struttura del condensatore, non dalla carica che io ci metto. Infatti nella formula finale non compare q, però compare l’area delle armature A e la distanza h tra le armature.

La formula della capacità verrà usata spesso da qui in poi, e anche negli esercizi. Ricordiamo che tutto si basa sul fatto che h è piccola rispetto alle armature.

condensatore cilindrico

Secondo voi come sarà fatto un condensatore cilindrico? Avrà le armature fatte a cilindro.

Vediamo la figura.

Il cilindro interno ha carica positiva e raggio a, mentre il cilindro esterno ha carica negativa e raggio b. Entrambi sono alti h. I punti A e B servono per il calcolo del potenziale. 

Per fare i conti vediamo tutto dall’alto.

La circonferenza tratteggiata (sarebbe un cilindro ma visto dall’alto è una circonferenza) ha raggio r e rappresenta il cilindro che è la superficie di Gauss che useremo per trovare il campo elettrico. Quest’ultimo è rappresentato dalle frecce rosse (sarebbe tutto pieno di frecce rosse ma ne abbiamo fatte solo tre per far capire il concetto), che sono radiali (cioè se le prolungate arrivate al centro della circonferenza) e dirette verso la circonferenza con carica negativa. 

Vi anticipo già che sulla circonferenza grigia che vedete il campo elettrico è costante perché la circonferenza si trova sempre alla stessa distanza dalle due armature.

Ora calcoliamo il campo elettrico usando la superficie di Gauss disegnata: è un cilindro con la stessa altezza delle armature (cioè h) e raggio r.

Si può notare che se r>b la carica interna alla superficie è +q-q=0. Quindi non c’è campo elettrico all’esterno del cilindro più grande. Non c’è campo neanche all’interno del cilindro più piccolo perché la superficie di Gauss che prendiamo non conterrebbe carica. La carica infatti è disposta sulle superfici laterali dei cilindri e quindi se prendiamo un cilindro troppo piccolo non abbiamo carica.

Usiamo la legge di Gauss per calcolare il campo elettrico e scomponiamo l’integrale di superficie in 3 integrali: due per le basi e uno per la superficie laterale del cilindro.

Guardate la prima figura del condensatore cilindrico che abbiamo fatto: il campo elettrico è “orizzontale”, cioè parallelo alla base dei cilindri. Questo significa che non c’è flusso sulle basi del cilindro che abbiamo scelto (quello grigio). Questo ragionamento l’avevamo già fatto nelle scorse lezioni. Rimane solo il flusso sulla superficie laterale del cilindro e, siccome E è costante, basta moltiplicare E per la superficie laterale del cilindro. Inoltre la carica interna alla superficie scelta è la carica q perché, guardando il disegno, vediamo che il cilindro più interno è dentro alla superficie scelta. Questo spiega la seconda riga che abbiamo scritto.
Poi ci si calcola il campo E.

Adesso il nostro obiettivo è quello di trovarci la formula della capacità di un condensatore cilindrico. Per fare ciò serve la differenza di potenziale tra le due armature (come abbiamo fatto col condensatore piano).

Ribadisco che il campo elettrico è presente solo per a < r < b. 

Calcoliamo la differenza di potenziale tra i punti A e B (poi spieghiamo le formule che scriviamo adesso).

Intanto vogliamo la differenza di potenziale tra A e B, cioè tra l’armatura positiva e quella negativa, e la scriviamo con la formula che la lega al campo elettrico.
La prima riga è semplicemente la formula. Bisogna però notare che il campo elettrico è diretto verso l’esterno, mentre il vettore dl è diretto dal punto B al punto A perché stiamo facendo V(A)-V(B). Se avessimo fatto V(B)-V(A) sarebbe stato diretto da A a B. 
Dato che il vettore dl è diretto da B ad A, E e dl sono opposti e quindi l’angolo compreso tra di loro (che serve per il prodotto scalare) è θ=180°. Quindi il coseno è -1.
Ecco perché nella seconda riga è sparito il segno “-” davanti all’integrale e sono spariti i vettori.
Adesso c’è un altro problema: nella terza riga è tornato un “-” e non c’è più il “dl”. Siccome il vettore dl era diretto da B ad A, una variazione positiva significava avvicinarsi ad A: se sono in B e mi sposto di +1 metro mi sto avvicinando ad A perché mi sposto nel verso del vettore dl. Il problema è che il mio dr esprime una variazione della distanza rispetto al centro delle circonferenze: se sono in B e mi sposto di +1 metro sto andando verso l’esterno, quindi mi allontano da A. In pratica il dl mi dice che una variazione positiva avviene quando mi avvicino ad A, mentre il dr mi dice che se mi avvicino ad A ho una variazione negativa. Quindi in realtà dr non è uguale a dl, bensì opposto: dl=-dr. 
Ve lo ridico in altri termini: siccome r=0 è il centro delle circonferenze, all’aumentare di r io sto andando verso l’esterno. Ciò significa che dr è diretto verso l’esterno. Ma il vettore dl è diretto da B ad A, cioè verso l’interno. Quindi dl=-dr. 

So che è un ragionamento contorto e insidioso e forse non vi sarà chiaro, quindi meditate bene su questa cosa. Nella scorsa lezione l’avevo già accennata, tanto per servirvi un antipasto.

Ora proseguiamo con i conti:

Per ottenere la seconda riga abbiamo usato una proprietà degli integrali: si fa sparire il “-” ma si scambiano gli estremi di integrazione.
Poi abbiamo solo dovuto tradurre gli estremi: il punto B è ad una distanza pari a b, mentre il punto a è ad una distanza pari ad a.
Si integra ed è fatta.

Ora possiamo calcolare la capacità di un condensatore cilindrico:

Abbiamo solo sostituito a V la formula appena calcolata.

Anche in questo caso la capacità dipende solo dalla struttura del condensatore: sono presenti a,b,h ma non la carica q.

condensatore sferico

Intanto voglio solo dire che le dimostrazioni non mi piacciono ma fanno parte della teoria quindi mi tocca farle. State tranquilli: negli esercizi si useranno solo le formule, mica le dimostrazioni.

Un condensatore sferico ha le armature fatte a sfera (che perspicace!).

Guardiamo la figura:

Voi direte che è uguale a quella di prima. Infatti lo è, solo che stavolta non sono cilindri visti dall’alto bensì sfere.

Valgono le stesse considerazioni di prima: la carica +q si distribuisce sulla superficie esterna della sfera interna, ovvero la carica tende ad andare il più vicino possibile alla sfera esterna; la carica -q si distribuisce sulla superficie interna della sfera esterna, ovvero tende ad andare il più vicino possibile alla sfera interna.

All’esterno della sfera esterna e all’interno della sfera interna il campo elettrico è nullo perché usando come superficie di Gauss una sfera (quella grigia tratteggiata) si ottiene rispettivamente una carica +q-q=0 e una carica nulla. Questo l’avevamo già detto per il condensatore cilindrico.

Il concetto è più semplice rispetto a prima: sappiamo già quanto valgono campo e potenziale generati da una sfera quindi facciamo a meno di ricalcolarceli con la legge di Gauss.
In un punto P a distanza r dal centro, con a<r<b, il campo elettrico è quello della superficie interna. Perché? Che fine fa la sfera esterna? La sfera esterna è di fatto una superficie sferica con carica -q. Il campo elettrico all’interno di una superficie sferica è nullo, quindi ce ne freghiamo altamente della sfera esterna.

Possiamo quindi già scrivere il campo elettrico della sfera interna in un punto che dista r dal centro della sfera:

La differenza di potenziale tra i punti A e B risulta semplice perché sappiamo già quanto vale il potenziale della sfera:

In questa formula abbiamo calcolato la differenza di potenziale chiamandola V. Per ottenere la seconda riga abbiamo solo raccolto i pezzi comuni. E’ chiaro che per ottenere la prima riga abbiamo sfruttato il fatto che il punto A è a distanza r=a e il punto B è a distanza r=b. Come vedete, abbiamo utilizzato la formula della differenza di potenziale generata da una superficie sferica.

Adesso possiamo finalmente trovare la capacità di un condensatore sferico:

Abbiamo solo svolto i conti, in particolare abbiamo fatto la sottrazione tra parentesi.

Anche in questo caso la capacità dipende solo dalla struttura del condensatore: sono presenti i raggi a e b delle due sfere, ma non la carica q.

Per concludere, la capacità non dipende dalla carica presente sul condensatore ma dipende solo dalla sua forma e dalle sue dimensioni.

Ora immaginate di allontanare la sfera esterna, cioè di far crescere b all’infinito. Otterremmo una sferetta con raggio a e carica +q da sola. Tale sfera si chiama sfera isolata.
E’ possibile guardare la sua capacità facendo tendere b all’infinito: si ottiene C=4πε₀a. Cerchiamo poi la differenza di potenziale V tra la sfera e l’infinito (perché la sfera più esterna è all’infinito) utilizzando la formula inversa della capacità (cioè V=q/C). Otteniamo la stessa formula che abbiamo ottenuto parlando di differenza di potenziale generata da una sfera. In particolare otteniamo la differenza di potenziale tra un punto sulla sfera (perché abbiamo r=a) e l’infinito.
Quello che ho appena detto potete anche dimenticarlo, non è importante: era solo per farvi capire che tutto torna.

Concludiamo qui la lezione. Nella prossima vedremo come calcolare l’energia e la pressione elettrostatica di un condensatore.

 

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