In questa lezione vediamo le equazioni che regolano il moto di un pendolo e poi diamo solo la definizione di sistema inerziale e forze apparenti.
Pendolo
Consideriamo un pendolo e cerchiamo di capire quali leggi regolano il suo moto.
Guardiamo la figura seguente:
La figura fa vedere come si muove il pendolo.
Il moto avviene su un piano.
Come notate dalla figura, ci sono due angoli θ uguali. Uno dei due è negativo perché per ipotesi scegliamo che la posizione θ = 0 è al centro. Questo ci aiuta nei calcoli.
L’angolo di destra è negativo perché ci piace così, quindi è -θ. Non è obbligatorio scegliere quello di destra ma se si prende quello di sinistra bisogna modificare le formule che scriveremo tra poco.
Scriviamo la seconda legge di Newton lungo i due assi.
- Asse x
La forza peso parallela è a sinistra. Il segno “-” è dovuto al fatto che l’angolo è negativo, quindi è –θ. E noi che siamo forti in matematica sappiamo che sin(-θ)=-sin(θ). L’accelerazione è un’accelerazione tangenziale. - Asse y
Sull’asse y ci sono la tensione della fune e la forza peso perpendicolare. Queste causano un’accelerazione centripeta.
Noi sappiamo che nel moto circolare (il moto del pendolo è circolare) abbiamo atg=Rα, dove α è l’accelerazione angolare. Il raggio del moto del pendolo è pari alla lunghezza L della corda.
Possiamo quindi scrivere, dopo aver diviso l’equazione dell’asse x per m, la seguente cosa:
Sapendo che α è la derivata seconda di θ, otteniamo:
L’equazione del pendolo è quindi:
L’equazione non ha soluzioni analitiche quindi la teniamo così.
- Per θ → 0:
Possiamo approssimare il seno utilizzando lo sviluppo di Taylor: sin(θ)∼ θ. Otteniamo:
Quindi è l’equazione di un moto armonico semplice con pulsazione:
Abbiamo quindi le leggi del moto armonico:
Il periodo del pendolo è:
Possiamo riassumere le formule in questa tabella:
| FORMULE GENERALI | ANGOLO PICCOLO |
| T – mg cos(θ) = macp | T – mg ∼ macp |
| atg = -g sin(θ) | moto armonico |
Forze apparenti e sistema inerziale
Quando c’è il sistema di riferimento in movimento abbiamo delle forze dette forze apparenti. Il classico esempio è quello di un sistema di riferimento che ruota, come la Terra.
Ci sono tre forze apparenti:
- Forza di trascinamento:
E’ dovuta al sistema che sta traslando.
Dove A è l’accelerazione del sistema di riferimento. - Forza di Coriolis:
E’ dovuta alla rotazione del sistema.
Dove v’ è la velocità del corpo rispetto al sistema, mentre ω è la velocità angolare del sistema. - Forza centrifuga:
Questa forza è dovuta alla rotazione del sistema.
Dove ω è la velocità angolare del sistema e r’ è la posizione del corpo rispetto all’origine del sistema di riferimento.
Sistema inerziale
Un sistema è detto inerziale se vale il principio d’inerzia.
Principio d’inerzia: se allora
. Detto a parole: se la risultante delle forze applicate al corpo è nulla, allora la velocità del corpo è costante (o il corpo è fermo).
Nel caso delle forze apparenti descritte precedentemente non vale questo principio.
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nella formula della forza centrifuga dovrebbe comparire la massa che moltiplica tutto?
Hai ragione, ora modifico! Grazie!
la legge oraria del pendolo non dovrebbe essere θ(t)=θcos(Ωt+ϕ)? e conseguentemente ω(t) dovrebbe avere il segno meno?
Vedo che la ω(t) che ho scritto è sbagliata: dovrebbe avere un coseno. Ora la correggo.
Invece, per quanto riguarda la tua domanda: puoi mettere sia il seno che il coseno, basta che poi la velocità angolare e l’accelerazione angolare vengano scritte di conseguenza. Questo si può fare perché si può assumere che tutto sia gestito dalla fase iniziale Φ. Infatti, chiamando α la fase del coseno e β quella del seno, possiamo scrivere che cos(Ωt + α) = sin(Ωt + β) ponendo α = β – π/2. Quindi diciamo che i conti tornano anche mettendo il coseno perché il termine che tu chiami Φ (che è un generico numero) può contenere quel “- π/2” che serve