Lezione 7

In questa lezione vediamo il cambio di parametrizzazione, l’ascissa curvilinea e gli integrali curvilinei di prima specie.

Cambio di parametrizzazione

Diamo la definizione e poi la commentiamo facendo anche degli esempi.

Consideriamo un arco di curva regolare r : [a,b] → Rⁿ.
Prendiamo una funzione derivabile e biiettiva definita in questo modo:

Definiamo inoltre la seguente curva r₁:

ALLORA valgono le seguenti due proprietà:

1. r e r₁ hanno lo stesso sostegno.
   
   
2. Le derivate delle due curve r e r₁ sono diverse, in particolare:
   
   

Inoltre le parametrizzazioni si dicono equivalenti se Φ'(u) > 0, altrimenti si dice che è presente un cambio di orientazione.

SPIEGAZIONE: prendiamo sempre la solita curva r. Definiamo un’altra funzione Φ che trasforma un parametro u in un elemento appartenente ad [a,b]. Ciò significa che posso definire una curva che parte dal dominio di Φ (cioè [c,d]) e va direttamente a finire in Rⁿ, che è il codominio di r. Tale curva farà così: prende u (che appartiene a [c,d]), si calcola Φ(u) e poi r(Φ(u)). In tal modo, Φ(u) apparterrà al codominio di Φ (cioè [a,b]) e quindi poi Φ(u) potrà essere usata come dominio di r perché dominio di r e codominio di Φ coincidono. La curva r darà come risultato un numero che appartiene ad Rⁿ.
A questo punto valgono le due proprietà scritte.

Questo è il cambio di parametrizzazione: prima avevamo r che aveva come dominio [a,b] e come codominio Rⁿ. Adesso abbiamo r₁ che ha come dominio [c,d] e come codominio Rⁿ. Abbiamo cambiato il dominio, cioè abbiamo cambiato il parametro.

esempio 1

La definizione è complicata ma il concetto è molto semplice e per capirlo facciamo questo esempio: prendiamo le due curve seguenti e poi spieghiamo.

Le curve dipendono da due parametri diversi ma hanno lo stesso sostegno. Cosa cambia? Il dominio di r è [0,2π] mentre quello di r₁ è [0,π]. Dentro a r₁ però c’è scritto “2u”.

La curva r₁ è ottenuta da r semplicemente scrivendo “2u” al posto di “t“. Grazie a questa informazione sappiamo che Φ(u)=2u. La sua derivata è 2 che è positiva quindi le due parametrizzazioni sono equivalenti.
Se al posto di “t” avessimo scritto “-2u” avremmo avuto Φ'(u)<0 e quindi un cambio di orientazione. Questo significa che la curva r₁ è percorsa in verso opposto rispetto a r.

Al di là della definizione, quindi, bisogna solo guardare se al posto di ogni nostra “t” abbiamo un’altra espressione (nel nostro esempio abbiamo 2u). Quell’espressione è Φ(u).

teorema: la lunghezza nei cambi di parametrizzazione

La lunghezza di un arco di curva regolare è invariante sotto parametrizzazioni equivalenti o cambi di orientazione.

Ciò significa che la lunghezza di un arco di curva non cambia se voi la calcolate su una certa curva r o su un suo cambio di parametrizzazione r₁.

Ora facciamo la dimostrazione del teorema.

• DIMOSTRAZIONE:
  Prendiamo il nostro solito arco di curva regolare r : [a,b] → Rⁿ e ipotizziamo che esso abbia lunghezza l(r) = L.
  Definiamo la funzione Φ: [c,d] → [a,b] e prendiamo una parametrizzazione equivalente o un cambio di orientazione che chiamiamo r₁(u) = r(Φ(u)).
  Fino a qui abbiamo fatto quello che abbiamo scritto nella definizione di cambio di parametrizzazione.
  
  Dobbiamo dimostrare che l(r₁) = L.
  Per farlo calcoliamo la lunghezza di r₁ usando il teorema visto nella Lezione 6 e facciamo un po’ di conti ricordando la definizione di r‘₁ che abbiamo scritto prima.
  
  
  Chiaramente gli estremi dell’integrale sono il dominio della curva r₁ quindi c,d.
  
  Da notare che Φ’ è uno scalare, cioè non è un vettore. Quindi possiamo scrivere:
  
  
  Adesso arriva il bello: dividiamo il modulo in due casi: Φ’ > 0 e Φ’ < 0. Dovremmo farli tutti e due ma faremo solo il secondo caso e poi diremo che per analogia vale anche nel primo caso (cioè i conti sono identici).
  
  Prendiamo quindi il caso in cui Φ’ < 0.
  Nei conti che seguono facciamo la seguente sostituzione: Φ(u) = t, che porta ad avere Φ'(u)du = dt. 
  
  
  Come vedete, dopo il primo “=” è comparso un segno “-” perché la derivata è negativa quindi il suo modulo sarà -Φ’. Inoltre dopo il secondo “=” abbiamo fatto la sostituzione. Siccome gli estremi c,d sono quelli della variabile u, sapendo che Φ(u) = t possiamo trovare gli estremi di t semplicemente sostituendo “c” e “d” al posto di “u”.
  
  A questo punto notiamo una cosa divertente: la funzione Φ era definita da [c,d] in [a,b], quindi Φ(c) = b e Φ(d) = a. Ciò è dovuto al fatto che questa funzione è decrescente quindi quando il dominio assume il valore più piccolo (cioè c) il codominio assume il valore più grande (cioè b). 
  Otteniamo:
  
  
  Abbiamo quindi dimostrato che la lunghezza è rimasta sempre la stessa.
  Si possono fare gli stessi identici conti nel caso in cui Φ’ > 0, ponendo però Φ(c) = a e Φ(d) = b perché questa volta la funzione è crescente.
  
  Abbiamo così finito la dimostrazione.
  
  

Ascissa curvilinea

Prendiamo un arco di curva regolare r : [a,b] → Rⁿ.
Definiamo l’ascissa curvilinea nel seguente modo:

esempio 2

Calcoliamo l’ascissa curvilinea considerando la seguente curva, in cui t ∈ [0,2π] e t_o = 0:

Abbiamo già calcolato la derivata. Facciamo la norma di questa derivata e la integriamo:

Abbiamo scritto r(u) perché la definizione dice così. Tale curva è ottenuta semplicemente sostituendo “u” al posto di “t”. Questo è dovuto al fatto che la variabile t è già utilizzata negli estremi dell’integrale quindi non sarebbe formalmente corretto usare come variabile di integrazione la stessa lettera: ecco perché scriviamo du.

La cosa bella è che possiamo fare un cambio di parametrizzazione ponendo t = s/R.  Otteniamo una curva che dipende da s, cioè dall’ascissa curvilinea. Negli esercizi avremo modo di applicare questi concetti.

proprietà dell’ascissa curvilinea

C’è una proprietà che è importantissima:

Questo significa che se noi parametrizziamo la curva in funzione di s, cioè dell’ascissa curvilinea, il vettore tangente alla curva in ogni punto sarà un versore.

Ovviamente adesso vi beccate la dimostrazione:

• DIMOSTRAZIONE:
  Scriviamo la derivata della curva in questo modo:
  
  
  Abbiamo moltiplicato e diviso per “dt” e poi raggruppato un po’ i termini. Ricordiamo che la curva r e l’ascissa curvilinea dipendono da t.
  
  Dalla definizione di ascissa curvilinea, derivando in entrambi i membri, possiamo dire che:
  
  
  Se sostituiamo nell’espressione di r‘ otteniamo:
  
  
  La dimostrazione si conclude così: per definizione il rapporto tra un vettore e la sua norma dà come risultato un versore, ovvero un vettore di norma unitaria. Ciò significa che la norma di r‘(s) è uguale a 1, che è quello che volevamo dimostrare.

Integrali curvilinei di prima specie

Adesso diamo la definizione di integrale curvilineo di prima specie e poi faremo degli esempi per capire come usarla.

Dato un arco di curva r: [a,b] → Rⁿ regolare, definiamo una funzione f: dom(f)⊆ Rⁿ → R continua. La funzione f deve essere definita almeno sul sostegno di r.
L’integrale curvilineo di prima specie è definito come segue:

Ora che abbiamo detto la definizione, spieghiamo un attimo il concetto. La funzione f ha un dominio strano, che è contenuto in Rⁿ: ciò avviene perché nell’integrale curvilineo faremo f(r(t)), quindi il dominio deve essere un vettore di dimensione pari al codominio di r. In pratica r(t) fa venire fuori un vettore di dimensione n. Tale vettore entra nella funzione f e da lì esce uno scalare (perché il codominio di f è R).

Nella formula, la parte prima dell’uguale è la notazione: spesso l’integrale curvilineo si indica in quel modo.

teorema: integrale curvilineo e parametrizzazioni

Gli integrali curvilinei sono invarianti sotto parametrizzazioni equivalenti o cambi di orientazione.

esempio 3

Proviamo a calcolare l’integrale curvilineo della seguente curva r usando la funzione f scritta qui di seguito:

Notiamo subito quello che vi dicevo prima: la funzione ha due variabili, che corrispondono alle componenti della curva: la x è la prima componente, mentre la y è la seconda.

SOL:

Per fare l’integrale curvilineo dobbiamo calcolare la norma di r‘ e la f(r). Quest’ultima si calcola semplicemente mettendo al posto di “x” la prima componente della curva e al posto di “y” la seconda componente.

La norma si calcola facendo la radice della somma dei quadrati delle componenti di r‘.

A questo punto scriviamo l’integrale:

Per integrare questa funzione utilizziamo l’integrazione per parti: poniamo t sin(t²/2) = f’ e t²/2 = g. Ricordiamo infatti che f’ deve essere una funzione che sappiamo integrare.
ATTENZIONE: scrivo f’ e g perché di solito nell’integrazione per parti si usano questi nomi, non confondetevi con la f dell’esercizio.
Qui di seguito scriviamo la regola per parti:

Ricordiamo anche che non c’è una regola precisa per scegliere f’ e g, bisogna andare a tentativi. 

Ora per integrare togliamo gli estremi. Li metteremo dopo, quando abbiamo finito di integrare.

Ora per concludere l’esercizio basta “mettere dentro” gli estremi di integrazione:

L’integrale curvilineo richiesto è quindi uguale a π.

esempio 4

Calcoliamo l’ascissa curvilinea s (con t_o = 0) e la curva parametrizzata (cioè r(s)) della seguente curva:

SOL:

Innanzitutto calcoliamo l’ascissa curvilinea sfruttando la definizione. Bisogna per prima cosa calcolare la norma di r‘.

Facendo i conti e notando che cos²(u) + sin²(u) = 1 otteniamo una cosa semplice, che scriviamo nella definizione di ascissa curvilinea:

A questo punto calcoliamo r(s). Per farlo dobbiamo usare la formula appena trovata: basterà trovare t e sostituirlo nella formula di r:

E così abbiamo finito l’esercizio.

 

ATTENZIONE: se vi chiedono di calcolare il baricentro vi stanno chiedendo di calcolare un integrale curvilineo.

 

Abbiamo concluso un’altra emozionante lezione. Fai click qui per passare alla prossima.