Esame 1 – Fisica 2

In questo articolo studiamo il nostro primo esame di fisica 2. Applicheremo tutte le formule viste negli esercizi.

Esercizio 1

Un condensatore cilindrico, lungo ℎ = 80 cm, ha le armature di raggio R₁ = 6 cm e
R₂ = 6.2 cm, collegate ad un generatore di f.e.m. V_o = 150 V. Raggiunto l’equilibrio, si
stacca il generatore e, mantenendo il condensatore isolato, si riempie lo spazio fra le
armature, per metà, con un olio di costante dielettrica k = 2.5. Calcolare:

1. La differenza di potenziale tra le armature dopo l’introduzione dell’olio.
2. La carica libera Q₁ sulla metà vuota delle armature e Q₂ nella metà a contatto con l’olio.
   
   A questo punto si collega di nuovo il generatore fino al nuovo equilibrio. Calcolare:
3. Il lavoro compiuto dal generatore.

SOL:

a. Nel primo punto ci viene chiesta la differenza di potenziale dopo l’introduzione dell’olio. Sappiamo inoltre che il generatore viene staccato e solo successivamente si mette l’olio.

Nella Lezione 8 abbiamo visto che quando si introduce un dielettrico (in questo caso l’olio è il “dielettrico”) la situazione che si crea dipende dalla presenza del generatore: quando il generatore è staccato si mantiene costante la carica elettrica, ma non la differenza di potenziale. Ecco perché ci chiedono la differenza di potenziale (che spesso chiamerò d.d.p.) tra le due armature.

Con i dati sulle dimensioni del condensatore possiamo calcolare la sua capacità senza olio:

Ricordiamo che ε_o = 8.85 ⋅ 10^-9 C² N^-1 m^-2 .
L’obiettivo di questo conto è arrivare ad ottenere la carica presente sulle armature prima dell’inserimento dell’olio perché sappiamo che essa è uguale a quella presente dopo l’inserimento dell’olio (a causa del fatto che stacchiamo il generatore).

Con la formula dei condensatori (C=Q/V) possiamo trovare la carica prima dell’inserimento dell’olio:

Ora dobbiamo ragionare.

Dopo aver introdotto l’olio si formano due condensatori (uno con l’olio e uno senza) che sono collegati. Come? Sappiamo che se sono collegati in parallelo la loro differenza di potenziale è uguale, mentre se sono collegati in serie rimane uguale la loro carica (o la corrente che scorre, se nel circuito scorre corrente).
I nostri condensatori sono collegati in parallelo: l’armatura esterna di entrambi è collegata allo stesso potenziale (perché le due armature si toccano) e la stessa cosa vale per le armature interne. Quindi la d.d.p. presente tra armatura esterna e interna è la stessa in entrambi i condensatori perché i potenziali sono uguali.

Una volta appreso questo facciamo uno schema che ci aiuta, ricordando che il ragionamento è il seguente: conosciamo la carica totale presente (è Q_o), quindi per trovare la tensione utilizziamo la formula C=Q/V, ma dobbiamo calcolare la capacità. Avendo due condensatori in parallelo dobbiamo calcolare la capacità equivalente. Lo schema è il seguente:

In questo modo otterremo una capacità equivalente. Perché lo facciamo? Non possiamo usare separatamente le due capacità dei condensatori (che tra poco calcoliamo) perché non abbiamo la carica presente su ognuno di essi, ma solo la carica totale. Serve quindi la capacità “totale”, cioè quella equivalente.

 Indicando con C_v e C_k rispettivamente la capacità del pezzo di condensatore vuoto e la capacità del pezzo di condensatore con l’olio, possiamo calcolare le due capacità perché conosciamo le dimensioni dei condensatori:

Possiamo quindi calcolare la capacità equivalente, sapendo che le due capacità sono in parallelo:

Con questa riusciamo a calcolare la tensione tra le due armature dopo l’introduzione dell’olio, che chiamiamo V_k : 

b. Per il calcolo delle cariche presenti sui due condensatori saremo rapidi: abbiamo appena trovato la tensione e sappiamo anche quanto valgono le due capacità. Tanto per cambiare, usiamo la formula C=Q/V per trovare le due cariche:

c. Ora il generatore è stato ricollegato e dobbiamo calcolare il lavoro compiuto dal generatore. Ricordiamo che l’olio è ancora presente.

Ricollegando il generatore la tensione si riporta al valore di 150 V perché il generatore mantiene costante la tensione, è fatto apposta. Siccome inizialmente la tensione era di 85 V (calcolata nel punto a.), il generatore farà lavoro per portare la tensione fino a 150 V.

Innanzitutto sappiamo che la capacità è quella equivalente perché non abbiamo tolto l’olio. Inoltre, se il generatore porta la tensione fino a 150 V possiamo calcolare la carica presente alla fine del processo (perché abbiamo capacità e tensione):

La morale è quindi la seguente: il lavoro del generatore è per definizione il prodotto tra la tensione e la differenza di carica. Quest’ultima è Q₃ – Q_o perché inizialmente la carica presente è Q_o mentre dopo che il generatore è stato collegato si ha una carica Q₃. Otteniamo quindi:

Esercizio 2

La differenza di potenziale V_c fra le armature di un condensatore piano è di 120 V. Una
particella di carica q = 2.6 nC e massa m = 1 ∙ 10^-10 kg è inizialmente ferma in punto
equidistante dalle armature. Calcolare:

1. la velocità v_o della particella quando giunge all’armatura negativa dopo che è lasciata libera di muoversi.
   La particella attraversa l’armatura negativa grazie ad un piccolo foro, sbucando così dall’altra parte del conduttore dove è presente un campo magnetico uniforme B = 0.25 T, perpendicolare a v_o e al piano della figura, con verso uscente, che si estende per un tratto D = 1.25 m nella direzione di v_o . Trascurando la forza peso, calcolare:
2. l’angolo di deflessione θ della particella quando lascia la regione di campo magnetico.
3. modulo, direzione e verso del campo elettrico che si deve applicare affinché la
   particella prosegua indisturbata dopo aver passato l’armatura del condensatore.

SOL:

a. Ci chiedono la velocità finale della particella quando arriva all’armatura negativa (che è l’armatura di destra in figura).

Questo è quasi un esercizio di fisica 1: utilizziamo la conservazione dell’energia per capire qual è la velocità finale: all’inizio la particella è ferma al centro del condensatore, quindi non ha energia cinetica ma ha un’energia potenziale elettrica (che per definizione è pari al prodotto tra carica e tensione); alla fine la particella ha una certa velocità cinetica ma non ha energia potenziale elettrica perché è giunta alla fine del condensatore.

L’energia potenziale elettrica è calcolata usando metà della tensione del condensatore (quindi 60 V) perché la particella è posta a metà del condensatore.

Scriviamo quindi il bilancio delle energie e calcoliamo la velocità:

b. Ci chiedono l’angolo con cui la particella esce dalla regione di campo magnetico.

Intanto sappiamo che il campo magnetico modifica la traiettoria della particella, facendola curvare. Il raggio di curvatura si può calcolare con la formula del moto di una carica in un campo magnetico:

Per calcolare l’angolo dobbiamo fare un bel ragionamento di trigonometria (so che a voi piace). La particella viene deviata e percorre un arco di circonferenza, il cui raggio è proprio indicato dal raggio di curvatura. Facciamo l’immagine e poi la commentiamo:

Abbiamo riportato in rosso la circonferenza il cui arco rappresenta la traiettoria della particella. Fidatevi (l’ho disegnato io e l’ho fatto bene) che il centro della circonferenza è nel punto O. Il raggio quando la particella esce dalla regione in cui è presente il campo è quello di curvatura disegnato in verde. La distanza D è riportata in fucsia.
Avendo trovato R_c possiamo scrivere la seguente relazione, ottenuta guardando l’angolo arancione, il raggio verde e il segmento fucsia:

Le due relazioni sono identiche perché una delle formule trigonometriche fondamentali dice che cos(π/2 – θ) = sin(θ).

Dall’ultima formula possiamo trovare l’angolo:

c. Siccome il campo magnetico devia la particella verso il basso, il campo elettrico dovrà fare in modo di portarla in alto, così il loro effetto si annulla e la particella prosegue dritta. La particella ha carica positiva, quindi per farla andare in alto basterà avere un campo elettrico verso l’alto.
Quanto sarà il suo valore?

Sappiamo che la particella prosegue indisturbata (e quindi dritta) se la somma delle forze applicate su di essa è nulla (primo principio della dinamica). Ad essa sono applicate due forze: quella dovuta al campo magnetico (verso il basso) e quella dovuta al campo elettrico (verso l’alto). Di conseguenza:

Esercizio 3

Un generatore di forza elettromotrice V_o = 2.5 V viene collegato all’istante t = 0 s ad un
circuito costituito da una resistenza R e da un induttanza L in serie. L’induttanza è costituita da un toroide (solenoide toroidale) a sezione rettangolare con N_s = 2800 spire. Misurando la corrente nel circuito all’istante t₁ = 1.6 ∙ 10^-4 s si trova i₁ = 2 ∙ 10^-2 A mentre per tempi molto lunghi essa si stabilizza al valore i = 3 ∙ 10^-2 A. Sapendo che il raggio minore e maggiore del toroide valgono rispettivamente R_A = 3 cm e R_B = 5 cm, calcolare:

1. il coefficiente di autoinduzione del toroide.
2. l’altezza h del toroide.
3. il campo magnetico a regime in un punto del toroide equidistante da R_A e R_B.

SOL:

a. Chiedono il coefficiente di autoinduzione del toroide. Tale coefficiente è l’induttanza L.

Abbiamo una formula che dice l’induttanza di un toroide ma dipende dall’altezza, che chiedono nel punto b. Quindi per ora non la usiamo, ma la useremo dopo.

Non potendo usare la formula dell’induttanza di un toroide, proviamo a studiare il circuito. Esso è fatto come la seguente figura:

All’istante t=0 si chiude l’interruttore e quindi si crea un circuito in cui la corrente può scorrere. Ci forniscono un paio di dati interessanti, relativi alla corrente dopo un certo tempo t₁ e a regime.

Ora ci divertiamo.

Cominciamo dalla corrente a regime: essa è la corrente quando è passato tantissimo tempo dalla chiusura dell’interruttore. Sappiamo infatti che quando lo chiudiamo l’induttanza si carica e quindi la corrente ha un andamento esponenziale (Lezione 25). Dopo tanto tempo, però, la corrente è praticamente costante. Loro ci forniscono il valore di questa corrente costante. Inoltre, quando siamo a regime (cioè con la corrente costante) l’induttanza è un cortocircuito, quindi “sparisce”.
Si ottiene un circuito in cui sono presenti solo il generatore e la resistenza.
Scriviamo:

In queste formule abbiamo usato i = 0.03 A, che è quella data dal testo dell’esercizio.

Ovviamente vi state chiedendo perché trovare la resistenza se ci hanno chiesto l’induttanza. Ora lo vediamo.

Il testo ci fornisce un’altra informazione sulla corrente dopo un certo tempo. Possiamo sfruttare questa informazione perché conosciamo la formula della corrente per la carica di un’induttanza. Se la scriviamo vediamo che l’unica incognita che c’è è l’induttanza L:

b. Dobbiamo trovare l’altezza del toroide.

Conosciamo l’induttanza e abbiamo tutte le misure del toroide (numero di spire, raggio esterno ed interno, forma della sezione) tranne l’altezza h. Scrivendo la formula dell’induttanza di un toroide ci accorgiamo che h è l’unica incognita:

In questa formula, la costante μ_o vale 4π ⋅ 10^-7 Tm/A.

c. Il campo magnetico a regime si calcola utilizzando la corrente a regime.

Dal formulario possiamo ricavare la formula da utilizzare, in cui bisogna inserire la corrente e la distanza (dal centro del toroide) del punto in cui vogliamo calcolare il campo. Tale distanza, siccome il punto è equidistante dai due raggi, è pari a (R_A + R_B)/2. In pratica il punto è a metà fra i due raggi. Quindi:

 

Concludiamo qui il primo esame di fisica 2.
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