Lezione 1

Questa è la prima lezione del corso di Fisica 2. 
In questa lezione vedremo la legge di Coulomb, la forza elettrostatica e il campo elettrostatico (calcolando il campo di filo, anello e disco).

La legge di Coulomb – Forza elettrica

Per iniziare il nostro viaggio nell’elettromagnetismo ho scelto la legge di Coulomb, che dice qual è la forza elettrica presente tra due cariche puntiformi.

Intanto consideriamo due cariche puntiformi (cioè facciamo finta che siano dei punti) e le mettiamo ad una distanza r. Su di esse si genereranno due forze F₁ e F₂.

La legge che dice quanto valgono queste due forze (in modulo) è la legge di Coulomb:

Ho scritto la forza F₂ ma essa è uguale a F₁.

Ci sono un po’ di cose da chiarire:

• quello che abbiamo scritto è il modulo della forza. Per capire come sono orientate le frecce (quella verde e quella rossa nella figura precedente) bisognerebbe sapere se le cariche sono positive o negative: se sono dello stesso segno (entrambe positive o entrambe negative) le cariche si respingono e quindi le forze saranno dirette come nella figura; se sono di segno opposto (una positiva e una negativa) allora le cariche si attraggono e quindi le forze (in particolare le frecce) saranno dirette “verso l’interno” (la freccia rossa punterà verso Q₁ e la freccia verde verso Q₂.
• l’abbiamo già detto ma lo ripetiamo: F₁ = F₂. Cioè il modulo delle forze è lo stesso, quindi la lunghezza delle frecce è uguale, solo che puntano in direzioni diverse.
• Cos’è ?
  E’ la costante dielettrica del vuoto e vale 8.85 ⋅ 10^-12 F/m. Non prendete paura, l’unità di misura vi sarà chiara più avanti (la F è chiamata “Farad” ed è l’unità di misura della capacità elettrica).
  Il valore è costante quindi non dovete preoccuparvi.
• La legge assomiglia molto alla legge che esprime la forza di gravità (di Newton) perché nella legge di Newton c’è un prodotto tra le due masse e una divisione per r². Tuttavia la forza di gravità è sempre attrattiva, cioè cerca di avvicinare i due corpi, mentre la forza elettrica può anche essere repulsiva, cioè cerca di allontanare le due cariche.
  Questa è solo una curiosità.

E se ci sono più di due cariche?
Se per es. abbiamo tre cariche, la forza si somma: la forza agente su Q₁ è la somma tra la forza che agisce su Q₁ per effetto di Q₂ e quella che agisce su Q₁ per effetto di Q₃.
ATTENZIONE: la somma è di tipo vettoriale, cioè bisogna guardare come sono orientate le frecce che rappresentano le forze e sommarle utilizzando la regola del parallelogramma. 

carica elettrica

La carica elettrica è una grandezza fisica.
Deriva dal fatto che gli atomi sono formati da protoni (carica positiva), neutroni (carica nulla) ed elettroni (carica negativa). La somma di tutte le cariche di tutte le particelle presenti in un oggetto è la carica di quell’oggetto.

L’unità di misura della carica elettrica è C (Coulomb).

Il protone e l’elettrone hanno carica opposta: il protone ha carica pari a +1.6 ⋅ 10^-19 C, mentre l’elettrone ha carica pari a -1.6 ⋅ 10^-19 C.

esempio

Consideriamo quattro cariche elettriche come nella figura seguente. Q₁ e Q₄ sono positive e valgono rispettivamente 10^-6 C e 2 ⋅ 10^-6 C; Q₂ e Q₃ sono negative e valgono rispettivamente -10^-6 C e -2 ⋅ 10^-6 C. Il lato del quadrato (che chiamiamo a) è lungo 5 cm.
Dobbiamo calcolare la forza agente su Q₄.

Le frecce delle forze le abbiamo messe sapendo il segno delle cariche: Q₁ e Q₄ hanno lo stesso segno quindi si respingono, e quindi la forza F₁ cerca di allontanare la carica Q₄ da Q₁. Il ragionamento è simile per le altre forze, solo che esse sono attrattive.
A questo punto sappiamo che la forza risultante sarà la somma vettoriale tra le forze che abbiamo disegnato, quindi intanto ci calcoliamo le forze.

Per il calcolo di F₂ bisogna stare attenti perché la distanza è la diagonale del quadrato.
Inoltre bisogna stare attenti ai segni: Q₂ e Q₄ sono discordi (segno opposto) quindi F₂ dovrebbe essere negativa. Il segno “-” però indica semplicemente che la forza è attrattiva, quindi non dovete guardarlo. In pratica si scrive la forza in modulo, senza guardare il segno, e poi nel disegno si mette il vettore orientato giusto, cioè in modo tale che la forza sia attrattiva.

Per concludere l’esercizio sommiamo le tre forze utilizzando la regola del parallelogramma, e quindi sommandole per componenti: lungo l’asse x e lungo l’asse y. Poi, per trovare il modulo della forza agente sulla quarta carica, facciamo il teorema di Pitagora. 

Come potete vedere, la forza F₁ è verticale, quindi non ha una componente orizzontale (F_1x = 0); la forza F₃ è orizzontale, quindi non ha una componente verticale (F_3y = 0). Inoltre qui bisogna stare attenti ai segni: F_1y è diretta verso il basso, quindi è negativa. Stiamo infatti considerando le forze positive se sono dirette verso destra e se sono dirette verso l’alto. Le componenti della forza F₂ si trovano usando seno e coseno, sapendo che il vettore è inclinato di 45° perché giace sulla diagonale del quadrato.
Volendo poi rappresentare la risultante, bisogna tenere conto del fatto che F_y è negativa: significa che sarà verso il basso.

  

forza elettrostatica

Prima di parlare del campo elettrico diamo una definizione.
La forza elettrostatica è una forza che viene prodotta da una carica ferma. La particella che risente di questa forza può essere in movimento, l’importante è che la carica che la genera sia ferma. 

densità di carica elettrica

Ci sono tre tipi di densità di carica elettrica:

• Lineare:
  E’ la quantità di carica (dq) per unità di lunghezza (dl).
  
  
  Si misura in C/m. E’ quella che si utilizza per un filo; se è uniforme essa rappresenta semplicemente il rapporto tra la carica totale e la lunghezza.
• Superficiale:
  E’ la quantità di carica per unità di superficie.
  
  
  Si misura in C/m². E’ quella che viene utilizzata per un piano o per una superficie sferica o per qualsiasi superficie. Per es. si dice che una sfera ha una certa densità superficiale di carica e poi, dalla formula precedente, si può ricavare la carica presente sulla sfera. Vedremo tutto questo negli esercizi.
  
  
• Volumetrica:
  E’ la quantità di carica per unità di volume.
  
  
  Si misura in C/m³. Si usa quando si ha una sfera (non una superficie sferica) perché la carica è distribuita anche all’interno della sfera.

Queste cose serviranno in futuro quindi conviene dirle subito.

Il campo elettrico

Guardando la legge di Coulomb notiamo che sono presenti due cariche. Nell’esempio precedente abbiamo preso una carica che adesso chiamiamo Q₀ e abbiamo guardato quanto valeva la forza esercitata da un’altra carica su di essa.
Supponiamo che ci sia una carica Q nello spazio. Noi vogliamo capire la forza che essa esercita su una carica Q₀, che viene detta carica di prova, e quindi mettiamo una carica Q₀ in un punto a caso e usiamo la legge di Coulomb per trovare la forza esercitata da Q sulla carica Q₀. Il problema è che la forza dipende dalla carica di prova che io metto: se metto una carica Q₀ doppia raddoppierà la forza che calcolo (perché forza e carica sono direttamente proporzionali).
Questa cosa dà alquanto fastidio.
Qui ci viene in aiuto il campo elettrico: esso è uno stratagemma per eliminare la carica di prova quando calcoliamo la “forza agente sulla carica di prova”. In pratica, quindi, il campo elettrico ci dice qual è la forza agente su una carica di prova ma è indipendente dalla carica di prova. Questo significa che se c’è una carica Q, a prescindere dal valore di Q₀, io troverò sempre lo stesso campo elettrico: se metto una carica Q₀ doppia, ottengo lo stesso campo elettrico. La forza invece raddoppierà perché dipende da Q₀.

Come è possibile? In realtà la formula del campo elettrico è molto semplice ed è la seguente:

ATTENZIONE: il campo elettrico è un vettore, quindi viene rappresentato come una freccia. Per convenzione si suppone che la carica di prova sia positiva, quindi il campo elettrico è uscente se Q>0, entrante se Q<0. Quando dico “uscente” intendo che la freccia parte dalla carica Q ed è diretta verso l’esterno; quando dico “entrante” intendo che la freccia parte dall’esterno ed è diretta verso la carica Q.

Quindi il campo elettrico esercitato da una carica puntiforme Q in un punto distante r dalla carica è:

Calcolare il campo elettrico

Il campo elettrico ha le stesse proprietà della forza elettrica: tante cariche generano un campo elettrico dato dalla somma del campo generato da ogni particella. Se ci sono N cariche elettriche, il campo totale in un punto distante r_i dalla carica i-esima è:

In pratica la formula dice di sommare i campi generati da ogni carica. La somma è vettoriale, quindi bisogna trovare le componenti lungo l’asse x e lungo l’asse y dei vari campi elettrici e sommarle; poi si utilizza il teorema di Pitagora per trovare il campo elettrico totale (come nell’esempio sulle forze).

Se non si ha un insieme finito di cariche, ma si ha un corpo (che quindi non è discreto), la sommatoria si trasforma in un integrale e quindi la formula è:

Ancora una volta, il campo è un vettore. Spesso si indica in questo modo:

Con la precedente scrittura si fa risaltare il fatto che sia un vettore e, come vedremo tra poco, per fare l’integrale bisogna separare il campo elettrico nelle sue componenti.

Adesso vediamo degli esempi aggressivi di calcolo del campo elettrico utilizzando la formula precedente. Metterò subito la formula finale perché negli esercizi si usa quella. Poi vi farò vedere come si ricava. Faremo tre esempi: filo, anello e disco. 

campo elettrico – filo rettilineo

Il campo elettrico in un punto P distante y dal filo e posto a metà del filo, supponendo che il filo sia lungo L e che su di esso sia presente una carica Q, è:

Per la figura guardate l’immagine della dimostrazione.

Se il filo è infinito la formula per calcolare il campo elettrico a distanza y dal filo è:

In questa formula si indica con λ la densità lineare di carica.

Tenetevi forte, arriva la DIMOSTRAZIONE.

Supponiamo di avere un filo rettilineo di lunghezza L carico positivamente. Il nostro obiettivo è calcolare il campo elettrico del filo in un punto che dista y dal filo ed è posto lungo l’asse di simmetria del filo. Nell’immagine seguente si vede la situazione (poi spieghiamo tutto). Si suppone che il filo abbia una sola dimensione (la lunghezza), l’ho fatto grosso solo per poterci scrivere i segni “+” della carica elettrica.

Come vedete, il filo è lungo L e ha carica positiva. Il punto P, invece dista una quantità y dal filo (tale distanza è verticale), mentre dista r da un elemento chiamato dx (quello arancione). L’elemento dx è infinitesimo, cioè è piccolissimo. L’elemento dx dista una quantità x dall’asse di simmetria del filo. Le frecce nere indicano il sistema di riferimento e servono per dire che il punto a metà del filo viene indicato con un’ascissa nulla (servirà tutto dopo). 
Sull’elemento dx è presente una carica dq, anch’essa infinitesima perché l’elemento dx è piccolino. Nel punto P è presente un campo elettrico dE (quello verde) generato dal pezzettino dx; tale campo ha una componente verticale che chiamiamo dE_y. 
Abbiamo evidenziato solo la componente verticale dE_y e non quella orizzontale del campo elettrico perché le componenti orizzontali si eliminano:

Questo vale solo perché il punto P si trova sull’asse di simmetrica quindi ogni elemento dx che genera dE_x avrà un suo simmetrico dx’ che genera una componente orizzontale di campo elettrico dE’_x e quindi tutte le componenti orizzontali si eliminano. 

Il campo elettrico totale sarà dunque diretto verticalmente, ovvero E = E_y.

A questo punto conosciamo queste formule:

La prima è data dal fatto che per trovare il campo dobbiamo integrare un vettore e quindi integriamo le sue componenti. Però la componente orizzontale è nulla quindi integriamo solo quella verticale.
La seconda formula si capisce dalla figura.
La terza formula è la formula del campo elettrico generato da una carica puntiforme dq.

Unendo le tre formule otteniamo:

La variabile di integrazione dovrebbe essere x, cioè voglio che l’integrale sia fatto in dx, mentre adesso ho dq. Per capire questo immaginate che l’integrale sia una sommatoria: io voglio capire il campo elettrico generato dal filo e quindi sommo quello generato da ogni pezzettino di filo, ovvero da ogni dx. Questo perché quando facciamo l’integrale dobbiamo avere gli estremi di integrazione, che sono semplici utilizzando il dx. Sarà tutto più chiaro tra un attimo.

Se io cambio l’elemento dx, cambiano r e θ. Dobbiamo quindi esprimerli in funzione del dx (o di x, poi vedremo perché). Inoltre scriviamo dq in funzione di dx:

La prima formula esprime la carica dq di un elemento dx utilizzando la formula della densità lineare di carica e sapendo che la densità lineare è il rapporto tra Q (carica presente sul filo) e L (lunghezza del filo).
La seconda formula esprime col teorema di Pitagora la relazione che c’è tra r, x e y. Guardate la figura e capirete subito (ricordandovi che y è la distanza tra P e il filo).
La terza formula esprime il cosθ in funzione di x: nel primo passaggio abbiamo utilizzato una formula trigonometrica, mentre nel secondo abbiamo utilizzato la relazione precedente (tra r, x e y).

Possiamo sostituire nell’integrale. L’integrazione verrà fatta in dx e voi che siete matematici sapete che servono gli estremi di integrazione: la scelta del dx ci torna utile perché, avendo posto il valore x=0 al centro del filo, la x andrà da -L/2 a +L/2. Questo significa che terrò conto dei contributi di ogni elemento dx che è tra -L/2 e L/2, ovvero terrò conto dei contributi dati dal filo.

Basta risolvere questo integrale e abbiamo la formula.

Per risolvere l’integrale abbiamo usato un integrale notevole strano (ma si può fare con calma con altri metodi, per es. sostituzione). Poi abbiamo sostituito e fatto tanti conti, ricordandoci che Q=λL.

Che cosa succede se il filo è infinito?
Bisogna fare un limite.

L’unica cosa che bisogna ricordarsi è di risostituire Q=λL alla formula. Poi si usano gli asintotici, quindi si “toglie” 4y² e si fanno gli ultimi conti.

Campo elettrico – anello

Il campo elettrico generato da un anello di raggio R su cui è presente una carica Q in un punto P a distanza x dal centro dell’anello e giacente sull’asse dell’anello è il seguente:

Per capire meglio la situazione e per dimostrare la formula facciamo una bella immagine in 3D.

L’anello è carico positivamente (anche noi siamo carichi per la DIMOSTRAZIONE). Consideriamo un elemento dL dell’anello: esso sarà lungo dL e avrà una carica dq. Inoltre creerà nel punto P (che è a distanza r da dL) un campo elettrico dE. E’ anche rappresentata la componente orizzontale dE_x. L’asse x ha lo 0 in corrispondenza del centro dell’anello.
Come nel caso del filo rettilineo, una componente del campo elettrico è sempre nulla: il campo elettrico verticale si annulla sempre. In figura si vede l’annullamento delle componenti verticali: ogni elementino dL genererà un campo E che avrà una componente E_y che verrà annullata dalla componente E’_y di un elemento dL’ che è simmetrico a dL.

Quindi scriviamo: E = E_x.

Procediamo come per il filo:

E adesso cerchiamo di esprimere dq, r e cosθ in funzione di dL. Perché in funzione di dL? Perché così integrando troviamo il campo elettrico generato da tutti gli elementi dL che formano l’anello, e quindi troviamo il campo elettrico dell’anello.
In questo caso sfruttiamo il fatto che la densità lineare di carica è il rapporto tra Q e 2πR (che è la lunghezza della circonferenza dell’anello). Ciò è dovuto al fatto che la densità di carica è il rapporto tra la carica totale presente sull’anello e la lunghezza della zona in cui c’è la carica, ovvero la circonferenza.

Le formule sono molto simili a quelle viste per il filo. La prima riga è stata trovata dalla definizione di densità lineare; la seconda e la terza riga sono state trovate con considerazioni geometriche.

A questo punto sostituiamo nell’integrale per trovare il campo elettrico. Siccome stiamo integrando in dL, gli estremi di integrazione sono 0 e 2πR perché gli elementi chiamati dL si muovono sulla circonferenza, che è lunga 2πR. Nel caso del filo integravamo tra -L/2 e L/2 in modo da coprire tutta la lunghezza del filo; in questo caso per coprire tutta la lunghezza dell’anello dobbiamo integrare tra 0 e 2πR.

L’integrale è molto semplice perché tutte le quantità che abbiamo sono costanti quindi si possono portare fuori dall’integrale. Poi si sfrutta la definizione della densità lineare per far saltare fuori la carica Q nella formula finale.

campo elettrico – disco

Il campo elettrico generato da un disco di raggio R e con densità superficiale di carica σ (e carica Q) in un punto P distante x dal centro del disco e giacente sull’asse del disco è dato dalla seguente formula:

Adesso vediamo la DIMOSTRAZIONE e una bella immagine in 3D.

In giallo c’è scritto “dr”.

Il campo sarà solo dE_x perché le altre componenti si eliminano (come nel caso dell’anello).
Supponiamo che il disco sia formato da infiniti anelli e ne prendiamo uno, che chiamiamo dS. Tale anello ha raggio r e genera il campo dE_x. Lo spessore dell’anello è dr e quindi è infinitesimo (nel caso dell’anello dL era una parte molto piccola della circonferenza, non lo spessore dell’anello).
Il punto P dista x dal centro del disco.

Conosciamo già il valore del campo dE_x perché è quello generato da un anello di raggio r:

Nella formula precedente non c’è la carica totale perché stiamo considerando un anello molto piccolo (dS) quindi ha una carica infinitesima dq.

Cerchiamo di esprimere tutto in funzione del dr, così poi sappiamo che gli estremi di integrazione sono 0 e R. In pratica consideriamo i contributi degli infiniti anelli che hanno raggi che vanno da 0 a R.

La prima formula deriva dalla definizione di densità superficiale di carica: essa è il rapporto tra la carica totale presente sul disco (Q) e l’area del disco (πR²).
La seconda formula indica l’area dell’anello: è il prodotto tra la circonferenza e lo spessore dell’anello.

Adesso quindi sostituiamo le due formule nella formula del campo elettrico e facciamo l’integrale.

Per fare l’integrale basta notare che è un integrale quasi notevole, però nel dubbio lo facciamo per sostituzione ponendo x² + r² = t. Ma so che voi siete forti in analisi 1 e questi integrali li divorate.

Cosa succede se il disco è molto grande?
In pratica stiamo dicendo che R tende ad infinito. Un disco molto molto grande è un piano infinito e quindi con un banale limite otteniamo il campo elettrico generato da un piano infinito:

La formula è stata ottenuta perché se R è molto grande il secondo termine che è nella parentesi tende a 0.

Da notare che il campo elettrico di un piano infinito non dipende dal punto in cui lo vogliamo, cioè non dipende dalla distanza del punto P dal piano.

PRECISAZIONE: se la carica Q del disco (o del piano o dell’anello o del filo) è positiva allora è positiva anche la densità. Inoltre se Q>0 il campo elettrico è uscente, mentre se Q<0 il campo elettrico è entrante. Questo significa che la formula ci serve per calcolare il valore del campo, ma poi per mettere il verso (e quindi per disegnare la freccia) dobbiamo guardare la carica Q.

In questa lezione abbiamo visto un bel po’ di cose. Le dimostrazioni non sono belle e non servono per fare gli esercizi ma non si sa mai, magari vi tornano utili.

Fai click sul menu in alto alla voce “Fisica 2 teoria” per trovare altre lezioni o fai click su Lezione 2 per andare alla prossima lezione.

Pubblicità