In questa prima lezione inizieremo la cinematica, che è la parte della fisica che studia il moto degli oggetti indipendentemente dalle cause che hanno generato tale moto.
Cominciamo con alcune definizioni.
spostamento
E’ la differenza tra due posizioni. E’ un concetto abbastanza comune: se un oggetto va da un punto ad un altro si sta spostando.
La formula generale che dà lo spostamento Δx in funzione della posizione iniziale x1 e della posizione finale x2 è:
Intervallo di tempo
E’ la differenza tra due istanti di tempo. Anche questo è un concetto abbastanza comune.
La formula generale che dà l’intervallo di tempo Δt in funzione del tempo iniziale t1 e del tempo finale t2 è:
Velocità media e istantanea
Anche questi sono concetti molto comuni. Di solito si conoscono a causa degli autovelox, che dicono a che velocità si sta viaggiando in un certo istante (velocità istantanea).
La velocità media è:
Con il simbolo Δ indichiamo una variazione: per esempio Δx è una variazione di posizione.
La velocità istantanea all’istante t0 è:
La velocità istantanea è solo la derivata della traiettoria x(t), che dà la posizione dell’oggetto al variare del tempo. Quindi dx/dt significa “derivata di x fatta rispetto al tempo t”; mentre il resto della formula significa “valutata all’istante t0“.
La velocità è la derivata della traiettoria. Facciamo dei calcoli, poi li spieghiamo:
La seconda riga è stata ottenuta moltiplicando per dt.
Poi abbiamo integrato entrambi i membri, solo che in un caso integriamo rispetto al tempo (c’è dt) mentre nell’altro integriamo rispetto alla posizione (c’è dx). Ecco perché gli estremi di integrazione sono diversi. L’istante iniziale è t0 e la posizione iniziale è x0. Integrando la posizione, sto integrando un “1” quindi otteniamo la quarta riga.
La formula finale ci dà la posizione dell’oggetto in funzione della sua velocità e della sua posizione iniziale. La riscriviamo perché è bella:
Moto rettilineo uniforme
QUIETE: la quiete si verifica quando v(t)=0, cioè il corpo è fermo.
Nel moto rettilineo uniforme la velocità è costante.
Per far capire che è costante non scriviamo v(t) perché quella scrittura si usa per dire che dipende dal tempo, invece noi abbiamo appena detto che è costante.
La velocità costante si chiama V, quindi nel moto rettilineo uniforme v(t)=V cioè la velocità è sempre la stessa, a prescindere dal tempo.
Quindi, nella formula di prima possiamo mettere v(t)=V e, siccome la velocità è costante, possiamo portarla fuori dall’integrale e integrare:
L’ultima formula è fondamentale.
Con t0=0, cioè se l’istante iniziale è 0, otteniamo:
Del moto rettilineo uniforme bisogna dunque sapere due cose:
- V costante
- x(t) = x0 + V(t-t0)
Moto rettilineo uniformemente accelerato
Prima abbiamo definito velocità media e istantanea.
Adesso definiamo accelerazione media e istantanea.
L’accelerazione media è:
L’accelerazione istantanea all’istante t0 è:
Quindi la formula che lega l’accelerazione alla velocità è:
Quindi possiamo scrivere:
Sono gli stessi conti che abbiamo fatto per il moto rettilineo uniforme.
Nel moto rettilineo uniformemente accelerato l’accelerazione è costante e quindi poniamo a(t)=A.
La velocità, siccome l’accelerazione è costante e può essere portata fuori dall’integrale, diventa:
La posizione invece è:
Svolgendo i conti otteniamo:
Con t0=0 otteniamo una formula più semplice:
Le formule del moto rettilineo uniformemente accelerato sono:
- A costante
- v(t) = v0 + A(t-t0)
- x(t) = x0 +v0(t-t0)+1/2 A(t-t0)2
Esempi
esempio 1
Supponiamo che un oggetto all’istante t1= 2s sia in posizione x1= 33m e all’istante t2= 5s sia in posizione x2= 48m.
Qual è la sua velocità media?
Sol:
La velocità media è:
Esempio 2
Supponiamo che un oggetto all’istante t1= 2s abbia velocità v1= 33 m/s e all’istante t2= 5s abbia velocità v2= 48m/s.
Qual è la sua accelerazione media?
Sol:
L’accelerazione media è:
Esempio 3
Un oggetto ha velocità v(t)=6t3+1.
Sappiamo che in t0=0 la sua posizione è x0= -1m.
Dobbiamo trovare velocità, accelerazione e posizione all’istante t= 1s.
Sol:
Intanto troviamo la velocità all’istante 1 perché abbiamo la legge:
Sappiamo che l’accelerazione è la derivata della velocità, quindi:
Quindi, mettendo t= 1s otteniamo:
Sappiamo poi che la posizione è l’integrale della velocità, quindi:
Conosciamo x0 perché ci dicono che è -1.
Non ci resta che fare i conti:
E quindi:
Moto armonico
Supponiamo che un punto sia in moto seguendo una circonferenza.
Se prendiamo la proiezione del punto sul diametro orizzontale della circonferenza, tale proiezione si sta muovendo di moto armonico.
Come vedete, il punto P si muove sulla circonferenza, mentre la sua proiezione (Q) si muove sul diametro AB andando “avanti e indietro”.
La legge che descrive il moto armonico è:
In questa formula: A è l’ampiezza, ω viene chiamata pulsazione (rad/s), φ è la fase iniziale (rad).
Il periodo, misurato in s, è:
La frequenza, misurata in Hz (Hertz), è:
La velocità è la derivata di x(t):
L’accelerazione è:
Bellissimo corso, ma da per me le formule si sono tutte “rotte” (hanno il simbolino di un’immagine e poi qualcosa che sembra il codice da cui si creava queste operazioni) da quando ho aperto la lezione 7,potreste sistemarle?
Io uso questo corso come fonte primaria per l’esame di fisica I e senza formule non capisco più nulla.
Grazie
Mi dispiace per l’inconveniente. Sto cercando di capire a cosa sia dovuto in modo da sistemare tutto.
AGGIORNAMENTO1: l’editor che usavo per scrivere le formule non è più funzionante quindi sto cercando di sistemarle a mano ma ci vuole tempo.
AGGIORNAMENTO2: le formule dovrebbero essere tornate leggibili.
Grazie mille