In questa lezione vedremo qualche piccola nozione sui vettori, il moto parabolico e il moto circolare.
Operazioni con i vettori
Cominciamo dicendo che un versore u è un vettore con modulo unitario.
Somma
La somma tra vettori viene fatta graficamente con la regola del parallelogramma, di cui vedete un’immagine qui sotto:
Analiticamente la somma si può fare sommando le componenti orizzontali e verticali dei due vettori:
In questo modo si trovano le due componenti del vettore somma e poi si calcola il modulo del vettore somma (s), cioè la lunghezza del vettore.
prodotto scalare
Il prodotto scalare si indica con un puntino (·) ed è:
Dove θ è l’angolo compreso tra i due vettori.
Se i due vettori sono perpendicolari, il loro prodotto scalare è nullo.
Prodotto vettoriale
Il prodotto vettoriale si indica con “×” e ha come risultato un vettore il cui modulo è dato dalla formula:
Il modulo è la lunghezza del vettore, ma qual è il suo verso? Per capire il verso si utilizza la regola della mano destra. Riprenderemo più avanti questi concetti spiegando bene le regole.
Ricordatevi però che il risultato di questo prodotto è un vettore, mentre il risultato del prodotto scalare è un numero.
Se i due vettori sono paralleli allora il loro prodotto vettoriale è nullo.
Moto parabolico
Il moto parabolico è il moto che ha un proiettile. Esso è composizione di due moti: lungo l’asse y è un moto uniformemente accelerato perché c’è l’accelerazione di gravità; lungo l’asse x invece non c’è accelerazione quindi è un moto rettilineo uniforme.
L’accelerazione di gravità è g = 9.8 m/s2. Essa è diretta verso il basso, cioè contro il sistema di riferimento (che è verso l’alto). Questo significa che nella formula del moto uniformemente accelerato il termine contenente g avrà un “-” davanti.
Le formule sono quindi identiche a quelle del moto rettilineo uniforme e uniformemente accelerato viste nella Lezione 1. Lungo un asse useremo le formule di un moto, lungo l’altro asse useremo le formule dell’altro moto.
Per il moto parabolico ci sono formulette già pronte che ci aiutano in certi esercizi e che adesso vediamo.
Supponiamo che un cannone spari un colpo con una certa velocità iniziale inclinata di un angolo α rispetto all’orizzontale.
La velocità orizzontale sarà vx = v0 cos(α), mentre la velocità verticale sarà vy = v0 sin(α).
Il tempo dopo il quale si raggiunge l’altezza massima è:
Questa formula si ottiene perché nel punto più alto la velocità lungo l’asse y (cioè quella del moto uniformemente accelerato) si annulla.
La posizione orizzontale alla quale si ha l’altezza massima è:
Questa formula si ottiene perché utilizziamo la legge del moto rettilineo uniforme, ponendo per semplicità x0=0.
L’altezza massima è:
Questa formula è ottenuta con l’utilizzo della legge del moto rettilineo uniformemente accelerato.
Il tempo per raggiungere la gittata massima, cioè il tempo per avere di nuovo la y=0, è:
La gittata è:
La gittata è stata ottenuta con la formula del moto rettilineo uniforme.
esempio 1
Spariamo verso l’alto un proiettile con velocità iniziale v0 = 98m/s da un’altezza h = 100m.
Calcoliamo l’altezza massima, il tempo in cui si raggiunge l’altezza massima (tmax), la velocità finale (vfin) cioè quella che si ha quando il proiettile tocca terra, il tempo dopo il quale il proiettile tocca terra (tfin).
Sol:
Siccome spariamo verso l’alto, abbiamo vy = 98m/s e vx = 0m/s.
Innanzitutto scriviamo le leggi che regolano il moto lungo l’asse y:
Sono le leggi del moto uniformemente accelerato.
L’altezza massima è quella in cui la velocità del proiettile si annulla. Quindi intanto troviamo il tempo tmax in cui il proiettile raggiunge l’altezza massima utilizzando la formula della velocità; poi possiamo usare la formula della y(t) con il tempo appena trovato.
Troviamo il resto.
Quando il proiettile tocca terra abbiamo che la sua altezza è nulla. Possiamo quindi scrivere:
Il tempo finale ha due soluzioni ma una è negativa quindi non si può prendere.
La velocità è negativa perché è diretta verso il basso.
Chiaramente si potevano usare anche le formulette che abbiamo scritto prima, mettendo α = 90°.
Moto circolare
Il moto circolare è il moto di un oggetto che si muove in cerchio, come suggerisce il nome.
La distanza dal punto P(0) percorsa lungo la circonferenza di raggio R è:
Derivandola rispetto al tempo otteniamo la velocità tangenziale:
Nella formula precedente ω(t) è la velocità angolare.
moto circolare uniforme
Se ω(t) è costante abbiamo il moto circolare uniforme. Svolgendo gli stessi conti che abbiamo fatto per il moto rettilineo uniforme, cioè integrando la formula della velocità angolare, otteniamo:
moto circolare uniformemente accelerato
Siccome v = ωR, possiamo ottenere l’accelerazione tangenziale derivando la velocità:
Nella formula precedente α(t) è l’accelerazione angolare.
Se α(t) è costante abbiamo il moto circolare uniformemente accelerato, dove:
Nel moto circolare uniforme, tuttavia, non c’è solo un’accelerazione tangenziale. C’è anche un’accelerazione centripeta, cioè diretta verso il centro della circonferenza, la cui formula è:
Ecco la rappresentazione delle due accelerazioni:
Chiaramente, l’accelerazione nel punto P è la somma vettoriale tra le due accelerazioni. Questo significa che il modulo dell’accelerazione risultante è:
Finiamo qui per oggi. Fai click qui per passare alla Lezione 3.
Buongiorno, ma nel calcolo del modulo del vettore somma non ci dovrebbero essere le componenti elevate al quadrato sotto la radice?
Hai ragione, correggo subito. Grazie mille!