In questa lezione vediamo gli integrali tripli, la loro misura e l’integrazione per strati e per fili.
Integrali tripli: definizione
Vi ricordate la definizione degli integrali doppi vista nella Lezione 17?
Riprenderemo quella definizione, solo che aggiungeremo una dimensione: non ci saranno più dei rettangolini ma dei parallelepipedi.
Purtroppo non si riesce a disegnare la funzione perché il suo dominio è in 3D e quindi per disegnarla avremmo bisogno di quattro dimensioni.
Prendiamo una funzione f: P → R, dove P è un parallelepipedo definito così: P=[a1,b1]×[a2,b2]×[a3,b3].
Per definire l’integrale triplo seguiremo gli stessi passaggi che abbiamo fatto per gli integrali doppi:
- Dividiamo ognuno dei tre intervalli di P in n sottointervalli. Dividendo [a1,b1], [a2,b2], [a3,b3] otteniamo n3 parallelepipedi che chiamiamo Phkj.
- Prendiamo un punto thkj ∈ Phkj. Questo punto è quindi scelto a caso all’interno del parallelepipedo Phkj.
- Nel caso degli integrali doppi avevamo detto che prendavamo l’area dei rettangolini e la molticavamo per f(thk). Adesso prenderemo il volume dei parallelepipedi e lo moltiplicheremo per f(thkj). Otterremo quindi Vol(Phkj) ⋅ f(thkj).
- Ora diciamo che quando integriamo la f(x,y,z) otteniamo la somma di tutti i prodotti scritti al punto precedente (ci sarà un prodotto per ogni parallelepipedo). Quindi possiamo scrivere la formula seguente, in cui la sommatoria Snf viene chiamata Somma di Cauchy-Riemann di f.
La funzione f(x,y,z) si dice integrabile secondo Cauchy-Riemann su P SE il seguente limite esiste finito e non dipende da thkj:
In tal caso (cioè se f è integrabile) si pone:
Qui finisce la definizione. Non ho perso molto tempo nelle spiegazioni perché è praticamente identica a quella della Lezione 17, solo che c’è una dimensione in più.
Ora vedremo un altro paio di definizioni che si riconducono a quelle degli integrali doppi.
Integrali su regioni non parallelepipeoidali
Ci ho messo mezz’ora solo per scrivere “P-A-R-A-L-L-E-L-E-P-I-P-E-O-I-D-A-L-I” quindi apprezzate lo sforzo.
Nella Lezione 18 abbiamo visto gli integrali doppi su domini non rettangolari. Siccome adesso abbiamo gli integrali tripli, li vediamo su domini che non hanno la forma di un parallelepipedo.
Daremo velocemente la definizione, che è praticamente identica a quella degli integrali doppi nella lezione 18.
Data una funzione f definita su un insieme Ω⊇ R3 (che non sia un parallelepipedo), prendiamo un parallelepipedo P⊇ Ω. Definiamo poi una funzione ausiliaria f* nel seguente modo:
La funzione f è integrabile su Ω se f* è integrabile su P.
Ci siamo quindi ricondotti ad un integrale su un dominio a forma di parallelepipedo grazie alla funzione ausiliaria f*. Avevamo fatto una cosa molto simile per gli integrali doppi.
insieme misurabile e misura
L’insieme Ω si dice misurabile secondo Peano-Jordan se f(x,y,z)=1 è integrabile su Ω.
In tal caso (cioè se Ω è misurabile) possiamo definire la misura di Ω nel seguente modo:
Come vedete, c’è una forte similitudine con le cose che abbiamo visto negli integrali doppi: avevamo definito la misura come un’area, mentre adesso siccome abbiamo una dimensione in più la definiamo come volume.
Come fare un integrale triplo: integrazione per strati e per fili
Adesso vediamo delle regole pratiche (e poi un esempio) per capire come riuscire a calcolare gli integrali tripli.
Ci sono due diverse tipologie di integrazione, che vanno svolte su domini regolari, ovvero domini che sono formati da un’unione finita di insiemi definiti o come l’insieme Ω dell’integrazione per fili (che vediamo tra poco) o come l’insieme Ω dell’integrazione per strati (che vediamo tra poco).
Adesso definiremo le due tipologie di integrazione, specificando i domini su cui si possono fare.
Integrazione per fili
L’integrazione per fili si svolge su domini fatti nel seguente modo:
Sono quindi degli insiemi in cui la z è compresa tra due funzioni che dipendono da x e da y, mentre x e y appartengono ad un determinato dominio.
In tal caso per risolvere l’integrale triplo si utilizza l’integrazione per fili (cioè si integra prima in dz):
integrazione per strati
L’integrazione per strati si svolge su domini fatti nel seguente modo:
Sono quindi degli insiemi in cui la z è compresa tra due numeri, mentre la x e la y appartengono ad un dominio D(z) che dipende da z.
In tal caso per risolvere l’integrale triplo si utilizza l’integrazione per strati (cioè si integra prima in dxdy):
Esempio 1
Calcoliamo il volume del seguente insieme:
Questo insieme sembra difficile ma ci si accorge che se lo intersechiamo con dei piani “orizzontali” di equazione z=k otteniamo dei cerchi perché avremmo x2+y2=k che è la tipica equazione del cerchio. La figura è questa, in cui però dobbiamo prendere z ≤ 1:
Notiamo una cosa divertente: la z (che è sull’asse blu della figura) sarà di sicuro maggiore di 0.
La morale è che abbiamo 0 ≤ z ≤ 1 e, guardando l’insieme, possiamo dire con certezza che D(z) = {x2+y2 ≤ z}.
Utilizzeremo quindi l’integrazione per strati.
CONSIGLIO: è sempre meglio cercare di disegnare gli insiemi per capire come sono fatti e dedurne dei limiti (per esempio qui abbiamo capito che z è di sicuro positiva). Per disegnarli si intersecano con dei piani (per esempio con dei piani z=k abbiamo capito che vengono fuori dei cerchi).
Per calcolare il volume scriviamo:
Dobbiamo quindi fare l’integrale doppio. Siccome conosciamo l’insieme D(z) e sappiamo che è un cerchio, sappiamo anche che quel cerchio ha come raggio la radice di z.
Per svolgere l’integrale doppio in dxdy usiamo le coordinate polari (poi spieghiamo i passaggi):
Abbiamo scritto le coordinate polari (quindi nell’integrale compare il determinante della jacobiana, cioè ρ). Siccome ρ è il raggio e noi sappiamo che il raggio del nostro cerchio è √z, possiamo dire che ρ è compreso tra 0 (perché deve essere maggiore di 0) e radice di z. Per quanto riguarda θ, notiamo che nell’insieme di partenza c’è scritto y ≥ 0. Questo significa che ρ sin(θ) ≥ 0. Essendo ρ>0 per definizione, otteniamo sin(θ) ≥ 0 che è risolto per 0 ≤ θ ≤ π.
Gli estremi di ρ si potevano calcolare anche mettendo x = ρ cos(θ) e y = ρ sin(θ) nella disequazione del nostro insieme, ottenendo quindi ρ2 cos2(θ) + ρ2 sin2(θ) ≤ z che è risolta per ρ2 ≤ z ovvero per -√z ≤ ρ ≤ √z. Siccome ρ>0 per definizione, si ottiene 0 ≤ ρ ≤ √z.
Una volta fatto l’integrale doppio, resta solo quello singolo:
esempio 2
Nel nostro secondo esempio cerchiamo di calcolare il seguente integrale triplo, in cui Ω è definito come segue:
Non vi spaventate: cerchiamo di ragionare.
L’insieme ha la z compresa tra due funzioni di x e di y (una è 0, mentre l’altra è 1-x/2). Questo ci fa pensare di integrare per fili. In più, la x e la y appartengono ad un dominio D che non dipende dalla z. Questo significa che è meglio usare l’integrazione per fili.
Il dominio D sarà {1 ≤ x2+y2 ≤ 4, x ≥ 0}.
Intanto, quindi, scriviamo il nostro integrale ed integriamo in dz:
Abbiamo solo fatto l’integrale in dz e svolto un attimo i conti. Ora rimane l’integrale sull’insieme D. Siccome D è molto simile ad un cerchio (è metà di una corona circolare perché la corona circolare è indicata dalla disequazione 1 ≤ x2+y2 ≤ 4 mentre l’altra indica che si prendono solo le x positive) possiamo usare le coordinate polari:
Quello che abbiamo fatto è stato inserire le coordinate polari all’interno delle disequazioni del nostro dominio D per capire quali sono i nuovi estremi: dalle due disequazioni finali possiamo capire che 1 ≤ ρ ≤ 2 e 0 ≤ θ ≤ π/2 e 3π/2 ≤ θ ≤ 2π. Perché abbiamo scritto θ in quel modo? Non potevamo mettere -π/2 ≤ θ ≤ π/2 e basta?
NO, perché nelle coordinate polari per definizione θ ∈ (0,2π) quindi dobbiamo mantenere quei limiti e scrivere l’angolo in modo tale che li rispetti.
La morale è che l’integrale in dθ si separerà nella somma tra due integrali: uno tra 0 e π/2, l’altro tra 3π/2 e 2π.
Scriviamo quindi l’integrale sostituendo nella nostra funzione le coordinate polari, mettendo il determinante della jacobiana e gli estremi corretti:
Sembra bruttino ma sappiamo che tutte le cose che dipendono da θ sono costanti perché stiamo integrando in dρ. Otteniamo:
A questo punto basterà sostituire e poi integrare in dθ. Quest’ultimo integrale verrà spezzato nella somma tra un integrale con estremi 0 e π/2 e un integrale con estremi 3π/2 e 2π.
Il nostro obiettivo non era ammazzarci di conti quindi ci fermiamo qui. Con i due esempi visti avete capito qual è la logica che sta dietro all’integrazione per fili e per strati: l’ultimo integrale da fare è quello i cui estremi sono numeri. A seconda dell’insieme di integrazione si capiscono gli estremi e si riesce a scegliere che integrazione fare.
Per oggi ci fermiamo qui. Nella prossima lezione vediamo i cambi di variabile per gli integrali tripli.
Fai click su Lezione 22 per passare alla prossima lezione