In questa lezione ripassiamo il calcolo vettoriale e poi cominciamo a dare alcune definizioni sulle curve.
Calcolo vettoriale
Sappiamo da algebra come sono fatti i vettori: essi contengono un certo numero di componenti e ci sono un sacco di belle operazioni che si possono fare.
Ripassiamo brevemente le operazioni principali e le principali proprietà dei vettori.
norma di un vettore
Dato un vettore formato da n componenti e chiamato x = (x1, x2, …, xn) la sua norma è calcolata nel seguente modo:
Il vettore x viene indicato sottolineando la lettera x.
somma tra vettori
Dati due vettori x = (x1, x2, …, xn) e y = (y1, y2, …, yn), la loro somma è:
In pratica risulta un vettore le cui componenti sono la somma tra le componenti dei vettori di partenza.
moltiplicazione per uno scalare
Dato uno scalare a e un vettore x = (x1, x2, …, xn) il prodotto tra lo scalare e il vettore è:
Risulta quindi un altro vettore in cui ogni componente è moltiplicata per lo scalare.
prodotto scalare
Dati due vettori x = (x1, x2, …, xn) e y = (y1, y2, …, yn) il loro prodotto scalare è:
Il prodotto scalare si può indicare anche così: <x , y>.
Il risultato del prodotto scalare è un numero, non un vettore.
Se i vettori hanno solo due componenti, il prodotto scalare tra i due vettori è il prodotto dei loro moduli moltiplicato per il coseno dell’angolo compreso tra i vettori:
Un’ultima cosa che diciamo sul prodotto scalare è questa: se il prodotto scalare è nullo i vettori si dicono ortogonali.
prodotto vettoriale
Diamo la definizione nel caso in cui i vettori hanno tre componenti.
Dati due vettori u = (u1, u2, u3) e v = (v1, v2, v3) il loro prodotto vettoriale è:
Il risultato del prodotto vettoriale è un vettore.
I vettori i, j, k sono i tre vettori che formano una base dello spazio cartesiano, ovvero i = (1,0,0), j = (0,1,0), k = (0,0,1).
disuguaglianza di cauchy-schwarz
Quindi se facciamo il modulo di un prodotto scalare, esso sarà minore o uguale del prodotto tra le norme dei vettori.
disuguaglianza triangolare
Le curve: definizioni
In questo capitolo cominciamo a vedere alcune definizioni per le curve. Tali definizioni proseguiranno anche nella prossima lezione.
definizione di curva
Una curva è una qualsiasi funzione continua di questo tipo:
L’intervallo I è un intervallo aperto.
In pratica, la definizione ci dice che una curva è un vettore formato da n componenti che dipendono da un parametro. Ricordatevi infatti che la definizione scritta nella forma sopra significa che la curva ha come dominio l’intervallo I (che è un banale intervallo con una sola variabile) e come codominio l’insieme Rn.
Poi vediamo degli esempi.
arco di una curva
L’arco di una curva r è indicato e definito come segue:
In pratica, voi avete una curva che come dominio ha l’intervallo I. L’arco di quella curva è un qualsiasi pezzo della curva, che è ricavato utilizzando come dominio solo un pezzettino dell’intervallo I.
sostegno della curva
Il sostegno di una curva è l’immagine della curva.
In pratica, esso è il disegno della curva: è formato da tutti quei vettori (che nel caso in cui ci siano due componenti sono punti sul piano cartesiano) che si ottengono man mano che si fa variare il parametro indipendente all’interno del dominio. Ricordiamo infatti che la curva come dominio ha un intervallo e che essa dipende da un parametro.
Ora vediamo un esempio pratico.
esempio 1
Adesso facciamo un esempio di una curva in modo tale da capire i concetti che abbiamo definito.
Definiamo questa curva:
Come vedete, la prima riga indica gli insiemi su cui è definita ed è importante perché ci dice che il dominio è [0, π]. La seconda riga ci dice che la curva trasforma la t (che è il nostro parametro) in un vettore di due componenti dato da coseno e seno di t.
Nella seconda riga, la freccia strana indica che è una trasformazione tra elementi degli insiemi: la freccia normale si usa sugli insiemi o sugli intervalli (tipo la prima riga) mentre l’altra freccia si usa quando si parla degli elementi, cioè delle variabili.
La curva ci dice che quando t varia tra 0 e π otteniamo un vettore di due coordinate, che in pratica si rappresenta nel piano cartesiano come un punto.
Facciamo degli esempi: se t=0 abbiamo (cos(0),sin(0))=(1,0); se t=π abbiamo (cos(π),sin(π))=(-1,0); se t=π/2 abbiamo (0,1), ecc.
Possiamo quindi disegnare i punti man mano che t varia:
Il semicerchio blu è il sostegno della curva, cioè i valori assunti man mano che t varia. Il pezzetto rosso è un arco di curva, cioè è una parte della curva definita quando t sta in un intervallo più piccolo rispetto a [0,π].
Curva semplice
Una curva r: [a,b]→Rn è semplice se vale questa proprietà:
In pratica, una curva è semplice se il suo sostegno non presenta lacci.
I lacci sono questi:
Spero che si capisca: la curva azzurra ha quattro lacci che sono indicati dalle frecce rosse e dai cerchi rossi.
Se la curva tocca due volte lo stesso punto (cioè ha un laccio) essa non è semplice.
esempio 2
Le curve si possono anche definire definendo ogni singola componente e mettendole a sistema, come faremo tra poco.
Consideriamo due curve identiche ma con un dominio differente:
La seconda ha il parametro t che varia fino a 4π.
Cominciando a sostituire valori al parametro t ci accorgiamo che il sostegno di entrambe le curve è un cerchio.
Tuttavia la prima curva percorre il cerchio una volta sola mentre la seconda lo percorre due volte (perché per 2π ≤ t ≤ 4π i valori di x(t) e y(t) sono sempre gli stessi e quindi ridisegniamo un’altra volta gli stessi punti).
Questo significa che la curva 1 è semplice perché passiamo una sola volta per ogni punto (tranne i punti iniziale e finale che coincidono), mentre la curva 2 non è semplice perché passiamo due volte per tutti i punti quindi ci sono infiniti lacci (corrispondenti agli infiniti punti della circonferenza).
esempio 3
Guardiamo la seguente curva, definita usando le sue componenti:
Questa ha un grafico in 3D.
Ci sono due costanti a,b e un parametro t. L’unico che facciamo variare è t e lo facciamo variare tra 0 e T, che è un’altra costante.
Notiamo che x2(t)+y2(t) = a2. Questo significa che se non avessimo la z(t), al variare di t avremmo una circonferenza: quella appena scritta infatti è l’equazione di una circonferenza di raggio a.
Il punto è che noi abbiamo anche una z(t): al variare della t non solo stiamo percorrendo la circonferenza di raggio a, ma stiamo anche cambiando la z cioè ci stiamo alzando.
Risulta una specie di elica:
Il punto iniziale è ottenuto ponendo t=0 mentre quello finale ponendo t=T.
Ad ogni giro la curva si alza a causa della z(t).
Curva derivabile
Una curva r si dice derivabile in to se esiste finito il seguente limite:
Questo limite è la derivata della curva in to.
In pratica, deve essere derivabile ogni componente della curva.
La curva r è di classe C1 se è derivabile con derivata continua nel dominio di r (ovvero se tutte le sue componenti sono derivabili con derivata continua).
esempio 4
La seguente curva è derivabile con derivata continua, cioè è C1, nel dominio perché le sue componenti sono derivabili con derivata continua.
esempio 5
Calcoliamo la derivata della seguente curva (che è C1 perché è formata da polinomi).
SOL:
Per fare la derivata, siccome la curva è derivabile con derivata continua, basterà fare la derivata delle sue componenti:
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