In questa lezione vedremo i sistemi di punti materiali, il teorema del centro di massa e il principio di conservazione della quantità di moto.
Sistemi di punti materiali
Un sistema di punti materiali è un insieme di punti dotati di massa.
Per esempio la seguente figura è un sistema di punti materiali.
Come potete vedere, c’è un braccio r che indica la posizione di ogni punto rispetto all’origine del sistema di riferimento (sono stati indicati solo due bracci per non rendere incomprensibile il disegno).
Avendo un insieme di punti valgono le seguenti formule:
La prima formula dice che la quantità di moto totale (del sistema) è la somma delle quantità di moto dei singoli punti.
La seconda formula dice che il momento angolare totale (del sistema) è la somma dei momenti angolari dei singoli punti.
La terza formula dice che l’energia cinetica totale (del sistema) è la somma delle energie cinetiche dei singoli punti.
centro di massa
Il sistema di punti si comporta come se tutta la massa del sistema fosse concentrata in un singolo punto. Questo punto è il centro di massa.
In un sistema di riferimento, si possono calcolare le coordinate del centro di massa come media pesata sulle masse dei singoli punti.
Queste formule possono sembrare complicate ma dicono semplicemente che il centro di massa è più vicino ai punti che hanno più massa. Per esempio supponiamo che ci siano solo due punti, chiamati A e B, e che il punto A abbia più massa del punto B. Il centro di massa sarà più vicino al punto A.
La posizione del centro di massa rispetto all’origine del sistema di riferimento è, ancora una volta, la media pesata sulle masse:
Per i conti successivi (che di solito non capitano negli esercizi) dobbiamo ricavarci la posizione del centro di massa rispetto ad un punto i. Per fare questo guardiamo la figura seguente e poi ragioniamo.
Il vettore che vogliamo è quello azzurro che collega i al CM. Esso è dato da una banale sottrazione tra i due vettori che indicano la posizione del punto i e del CM (cioè ri e rcm).
Quindi il vettore che dà la posizione del centro di massa rispetto ad un punto i è:
Noi però sappiamo quanto vale rcm, quindi:
Abbiamo solo fatto i conti. Abbiamo messo l’indice j perché l’indice i indica il punto rispetto al quale vogliamo la posizione del centro di massa.
Facendo gli ultimi conti otteniamo:
Dove Mtot indica la massa totale del sistema e rji indica il vettore che congiunge il punto j con il punto i.
velocità del centro di massa
La velocità è:
L’unico passaggio strano è quello dove bisogna portare la derivata dentro la sommatoria e di conseguenza derivare ri.
Dalla formula appena scritta otteniamo:
Quindi:
Dove ptot è la quantità di moto del sistema.
accelerazione del centro di massa
Con gli stessi calcoli svolti per la velocità otteniamo la formula dell’accelerazione del centro di massa:
Teorema del centro di massa
Dalla formula precedente, cioè quella dell’accelerazione del centro di massa, otteniamo:
Dove con Ftot indichiamo la risultante di tutte le forze applicate al sistema.
La forza totale è data da forze interne al sistema e da forze esterne al sistema. Le forze esterne hanno origine all’esterno del sistema, mentre le forze interne sono generate all’interno del sistema (per esempio le tensioni nelle funi). Nel nostro caso le forze interne potrebbero essere le forze che si esercitano tra un punto e l’altro.
Quindi in formule:
E’ possibile dimostrare che le forze interne si annullano le une con le altre, cioè Fint = 0.
Combinando le equazioni risulta il teorema del centro di massa:
Dove Rest è la risultante delle forze esterne applicate al sistema.
Principio di conservazione della quantità di moto
Dal teorema del centro di massa, sapendo che acm = dvcm/dt otteniamo:
Dove ptot indica la quantità di moto totale del sistema.
L’ultima uguaglianza è possibile grazie alla formula vcm Mtot = ptot che trovate in questa pagina, nel calcolo della velocità del centro di massa.
Il principio di conservazione della quantità di moto ha questo enunciato:
Se Rest = 0, allora la quantità di moto del sistema è costante.
Questo si può appunto dimostrare perché Rest = dptot/dt e quindi se Rest = 0 abbiamo che la derivata della quantità di moto è nulla.