Lezione 10

In questa lezione vedremo il teorema del momento angolare (chiamato anche seconda equazione cardinale) e i teoremi di König.
Prima facciamo una piccola precisazione sui vettori.

i vettori

Un vettore si rappresenta con una freccia. Come avrete sicuramente notato, i vettori hanno una piccola freccia sopra di loro.
Per capire come è messa la freccia nello spazio c’è il verso. Se ci sono somme tra vettori il verso del vettore risultante dipende dalla regola del parallelogramma, che abbiamo visto nella Lezione 2.
Nel prodotto vettoriale, invece, il verso si decide con la regola della mano destra. Una volta stabilito il verso, sapete come disegnare la freccia nello spazio, ma bisogna calcolare il modulo del vettore per capire quanto è lunga. Nel prodotto vettoriale si moltiplica per il seno dell’angolo compreso (es. ab sin(θ)); nelle somme con la regola del parallelogramma si dividono i vettori nelle due componenti orizzontale e verticale, si sommano tali componenti e poi si trova la lunghezza del vettore somma con il teorema di Pitagora. 
Questi concetti saranno chiari negli esercizi.

Teorema del momento angolare

Viene anche detto Seconda equazione cardinale perché la prima è il teorema del centro di massa (che dice che M_tot a_cm = R_est).

Vi ricordate il momento della quantità di moto del sistema? Esso è:

Nella precedente equazione ogni “i” rappresenta un punto.

I conti che stanno per arrivare non sono belli, preparatevi psicologicamente.

Cosa succede se deriviamo la L che abbiamo appena scritto?

Trattiamo la derivata come derivata di un prodotto tra r_i e m_iv_i.
Otteniamo:

Come vedete, abbiamo derivato il primo termine e moltiplicato per il secondo non derivato, poi abbiamo tenuto il primo termine e moltiplicato per la derivata del secondo (la massa è costante).
Abbiamo diviso in due pezzi la sommatoria perché si può fare.

Guardiamo i due addendi separatamente per facilitare le cose.

• Primo addendo
  
  
  Abbiamo la derivata di un vettore che indica la posizione di un punto. La posizione rispetto a chi? Il momento angolare si fa rispetto ad un polo, quindi il vettore dice la posizione rispetto ad un polo.
  La sua derivata dirà la velocità rispetto ad un polo, cioè . In questa formuletta è la velocità del polo.
  La sottrazione dovrebbe essere abbastanza chiara ma ve la spiego con un esempio: immaginiamo di essere in macchina e stiamo guardando la nostra velocità rispetto ad un’altra macchina. Se andiamo alla stessa velocità, la nostra velocità rispetto ad essa è pari a 0. Abbiamo fatto la sottrazione tra le due velocità.
  Sostituendo otteniamo:
  
  
  Come ultimo passaggio possiamo portare fuori la velocità del polo perché è costante nella sommatoria: la variabile è la “i”, cioè tutti i diversi punti.
  
  
  Il primo dei due termini trovati è nullo perché le velocità sono parallele. Con il prodotto vettoriale dobbiamo avere il seno dell’angolo compreso, ma se sono parallele il seno risulta essere nullo.
  
  
• Secondo addendo
  
  
  Noi sappiamo che la derivata della velocità è l’accelerazione, inoltre il prodotto tra massa e accelerazione è una forza. Otteniamo:
  
  
  Dove con il vettore R_i indichiamo la risultante delle forze agenti sul punto i e con il vettore M_i,o indichiamo il momento delle forze applicate al punto i rispetto al polo O.

Mettiamo insieme i pezzi:

Abbiamo solo messo insieme i due addendi e sfruttato la seguente relazione:

Quella trovata è una bellissima formula ma non è ancora pronta.

Se v_o = 0, cioè il polo è fermo, oppure se v_cm = 0, cioè il centro di massa è fermo, oppure se v_o = v_cm, cioè il centro di massa e il polo hanno la stessa velocità (ovvero il polo è il centro di massa), allora:

E quindi:

Il momento angolare è la somma tra i momenti delle forze esterne e i momenti delle forze interne.
Si può dimostrare che M_o,int = 0, cioè il momento totale delle forze interne è nullo.

Otteniamo finalmente la seconda equazione cardinale o il teorema del momento angolare:

La derivata del momento della quantità di moto rispetto ad O è uguale al momento rispetto ad O delle forze esterne al sistema.

ATTENZIONE: ci sono delle ipotesi che vanno soddisfatte: v_o = 0 oppure v_cm = 0 oppure v_o = v_cm.

Primo teorema di König

L’obiettivo è calcolare il momento della quantità di moto rispetto ad un polo O.
Sappiamo già che:

Osserviamo la seguente figura:

Come vedete dall’immagine il punto i ha una posizione r_i rispetto al polo O. Esso però ha anche una posizione r’_i rispetto al centro di massa del sistema. Il centro di massa, a sua volta, ha una posizione r_cm rispetto al polo O. 
Guardando le freccette nella figura possiamo dire che:

E di conseguenza:

Sostituendo nell’equazione iniziale otteniamo:

Facendo i prodotti otteniamo:

Analizziamo gli addendi separatamente.

• Primo termine
  
  
  Questo perché la sommatoria si fa rispetto ad i e l’unica cosa che varia è la massa. Quindi possiamo fare la somma delle masse, ottenendo la massa totale del sistema di punti.
  
  
• Secondo termine
  
  
  Perché è nullo? Perché vale la seguente relazione:
  
  
  Ciò è dovuto al fatto che v’_cm = 0 perché la velocità del centro di massa rispetto a se stesso è nulla.
  
  
• Terzo addendo
  
  
  E’ nullo perché la posizione del centro di massa rispetto a se stesso (r’_cm) è nulla.
  
  
• Quarto addendo
  
  Lo lasciamo così.

Mettendo insieme tutti i pezzi otteniamo:

Il primo termine è il momento della quantità di moto del centro di massa rispetto ad O (L_cm), il secondo termine è il momento della quantità di moto dei punti rispetto al centro di massa (L’).

Ecco quindi la formula del Primo teorema di König:

Secondo teorema di König

Purtroppo (o per fortuna) König ha fatto un secondo teorema.
Il teorema ha a che fare con l’energia cinetica del sistema.

Sappiamo che l’energia cinetica totale è:

All’inizio della dimostrazione del primo teorema di König abbiamo scritto questa formula:

König ha pensato bene di sostituirla dentro alla formula dell’energia cinetica per vedere cosa veniva fuori.

Non rimane che fare i prodotti (sono prodotti scalari), ricordando che il prodotto scalare tra due vettori uguali è dato da:

Risulta:

Facendo i prodotti otteniamo:

Il primo termine è l’energia cinetica del centro di massa,il secondo termine è l’energia cinetica dei punti rispetto al centro di massa.

Nel terzo termine troviamo qualcosa che abbiamo già trovato prima:

Perché la velocità del centro di massa rispetto a se stesso è nulla.

Sapendo che il terzo termine è nullo, dalla formula dell’energia cinetica otteniamo la formula del Secondo teorema di König:

In questa formula c’è l’energia cinetica del centro di massa (E_cin,cm) e l’energia cinetica dei punti rispetto al centro di massa (E’_cin).

La messa è finita, andate in pace. Questa è stata una lezione molto dura.